Limite com Exponencial

por **Thyago Quimica** » Qui Mai 24, 2012 17:44

1) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[{2}^{x}-{3}^{x} \right]$

2) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1-{2}^{x}}{1-{3}^{x}}$

tendei fazer pelas propriedades mais o meu resultado nao bate, que deveria ser $-\infty$ e

por **LuizAquino** » Qui Mai 24, 2012 22:03

Thyago Quimica escreveu:tendei fazer pelas propriedades mais o meu resultado nao bate, que deveria ser $-\infty$ e

Thyago Quimica escreveu:1) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left[{2}^{x}-{3}^{x} \right]$

Colocando

em evidência, note que:

$\lim_{x\to +\infty} {2}^{x}-{3}^{x} = \lim_{x\to +\infty} 2^x\left(1 - \frac{3^x}{2^x}\right)$

$= \lim_{x\to +\infty} 2^x\left[1 - \left(\frac{3}{2}\right)^x\right]$

$= (+\infty)\cdot (1 - \infty)$

$= (+\infty)\cdot (- \infty)$

$= -\infty$

Thyago Quimica escreveu:2) $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1-{2}^{x}}{1-{3}^{x}}$

Dividindo o numerador e o denominador por 2^x

, note que:

$\lim_{x\to+\infty}\frac{1-{2}^{x}}{1-{3}^{x}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{2^x} - 1}{\frac{1}{2^x} - \frac{3^{x}}{2^x}}$

$= \lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{2^x} - 1}{\frac{1}{2^x} - \left(\frac{3}{2}\right)^x}$

Agora note que:

$\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{2^x} - 1 = 0 - 1 = -1$

$\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{2^x} - \left(\frac{3}{2}\right)^x = 0 - \infty = -\infty$

Portanto, temos que:

$\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac{1}{2^x} - 1}{\frac{1}{2^x} - \left(\frac{3}{2}\right)^x} = 0$

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