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[Otimização]Maior área de um retângulo

[Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor frank1 » Qua Mai 23, 2012 03:29

Fala pessoal blz?

Estou em dúvida na seguinte questão de otimização: "Prove que entre todos os retângulos com um dado perímetro P, o quadrado é o que possui maior área"

Até onde cheguei:
2x+2y=P e x.y=A, daí isolo x na primeira equação fica: x=(P-2y)/2, e levo para A, resultando em A=((P-2y)/2).y, e aí não sei mais...

E agora?

abraços!!!
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor LuizAquino » Qua Mai 23, 2012 11:35

frank1 escreveu:Estou em dúvida na seguinte questão de otimização: "Prove que entre todos os retângulos com um dado perímetro P, o quadrado é o que possui maior área"

Até onde cheguei:
2x+2y=P e x.y=A, daí isolo x na primeira equação fica: x=(P-2y)/2, e levo para A, resultando em A=((P-2y)/2).y, e aí não sei mais...

E agora?


Agora basta aplicar o Teste da Primeira Derivada ou o Teste da Segunda Derivada. Se você não souber como proceder, então eu recomendo que você assista a videoaula "21. Cálculo I - Teste da Primeira e da Segunda Derivada". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

Se você não conseguir avançar mesmo após assistir a videoaula, então poste aqui até onde você conseguiu fazer.
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor frank1 » Qua Mai 23, 2012 20:15

Opa Luiz, de antemão, já agradeço a ajuda :)

Então, derivando a função A=\frac{-2y^2+Py}{2} chego à seguinte expressão: \frac{-4y+P}{2}, dái então eu quero achar o ponto crítico, que resulta em y=\frac{P}{4}, e agora fico meio confuso...

Chegando a esse ponto crítico, como irei dizer se ele é um ponto de max ou um ponto de min? e se for de max/min como devo proceder?

abraços!!
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor LuizAquino » Qui Mai 24, 2012 01:07

frank1 escreveu:Então, derivando a função A=\frac{-2y^2+Py}{2} chego à seguinte expressão: \frac{-4y+P}{2}, dái então eu quero achar o ponto crítico, que resulta em y=\frac{P}{4}


Ok.

frank1 escreveu:Chegando a esse ponto crítico, como irei dizer se ele é um ponto de max ou um ponto de min?


Isso é explicado na videoaula que indiquei anteriormente.

frank1 escreveu:e se for de max/min como devo proceder?


Vamos supor que você já conseguiu justificar que y = P/4 é o ponto de máximo.

Como você já sabe que x = (P - 2y)/2, substituindo y por P/4 você obtém que:

x = \frac{P-2\cdot \frac{P}{4}}{2}

x = \frac{P-\frac{P}{2}}{2}

x = \frac{\frac{2P - P}{2}}{2}

x = \frac{P}{4}

Desse modo, você pode concluir que x = y (já que ambos são iguais a P/4).

Note que isso significa que a maior área possível acontece quando o retângulo tem lados iguais. Ou seja, quando o retângulo é um quadrado.
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor frank1 » Qui Mai 24, 2012 09:15

Caramba Luiz, MUITO obrigado , entendi a questão e agora estou entendendo muito mais sobre pontos críticos e teste de segunda derivada

;)

EDIT: Luiz, uma ultima duvida: se o teste da derivada segunda, indicasse que aquele era ponto de min, como eu iria proceder?
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor LuizAquino » Qui Mai 24, 2012 18:44

frank1 escreveu:Luiz, uma ultima duvida: se o teste da derivada segunda, indicasse que aquele era ponto de min, como eu iria proceder?


Nesse caso, o enunciado do exercício estaria inconsistente, já que não haveria uma área máxima como é solicitado, mas sim uma área mínima.

De qualquer modo, no caso desse exercício, a pessoa tem que de fato obter que a área é máxima. Caso contrário, ela errou alguma coisa no desenvolvimento.
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor lucasabreuo » Ter Mai 07, 2019 02:00

LuizAquino, boa noite!

Tenho um problema parecido com esse para resolver...Poderia me ajudar?

A questão é a seguinte:

Mostre que de todos os retângulos com uma dada área, aquele com o menor perímetro é um quadrado.

Nesse caso eu isolo o X da função Area do retângulo e substituo na função p do perímetro do retângulo e derivo?

Obrigado!
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor adauto martins » Dom Jun 02, 2019 14:00

A=x.y...y=\sqrt[]{{d}^{2}-{x}^{2}}...logo:
A(x)=x.(\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}})...
A'(x)=-2x(\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}})+(-2{x}^{3}/(\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}})=0...
2x.(d}^{2}-{x}^{2}-{x}^{2}/(\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}}))=0\Rightarrow
x=\sqrt[]{{{d}^{2}-{{x}^{2}}}^{}}=y...x=y...
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Re: [Otimização]Maior área de um retângulo

Mensagempor adauto martins » Qui Jun 06, 2019 12:59

uma correçao:
A'(x)=\sqrt[]{{d}^{2}-{x}^{2}}-2{x}^{2}/(\sqrt[]{{d}^{2}-{x}^{2}})
no qual se segue o resultado acima...
A'(x)=({d}^{2}-{x}^{2}-{x}^{2})/(\sqrt[]{{d}^{2}-{x}^{2}})=0...

x=y......obrigado
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Assunto: [Função] do primeiro grau e quadratica
Autor: Thassya - Sáb Out 01, 2011 16:20

1) Para que os pontos (1,3) e (-3,1) pertençam ao grafico da função f(X)=ax + b ,o valor de b-a deve ser ?

2)Qual o maior valor assumido pela função f : [-7 ,10] em R definida por f(x) = x ao quadrado - 5x + 9?

3) A função f, do primeiro grau, é definida pos f(x)= 3x + k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é?


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1)Dados dois pontos A=(1,3) e B=(-3,1) de uma reta, é possivel definir a sua equação.

y_{b}-y_{a}=m(x_{b}-x_{a})

1-3=m(-3-1) \Leftrightarrow -2=-4m \Leftrightarrow m=\frac{2}{4} \Leftrightarrow m=\frac{1}{2}

Em y=mx+b substitui-se m, substitui-se y e x por um dos pares ordenados, e resolve-se em ordem a b.

3=\frac{1}{2} \cdot 1+b\Leftrightarrow 3-\frac{1}{2}=b \Leftrightarrow b=\frac{5}{2}



2)Na equação y=x^2-5x+9 não existem zeros.Senão vejamos

Completando o quadrado,

(x^2-5x+\frac{25}{4})+9-\frac{25}{4} =0\Leftrightarrow (x-\frac{5}{2})^2+\frac{11}{4}=0

As coordenadas do vertice da parabola são (\frac{5}{2},\frac{11}{4})

O eixo de simetria é a reta x=\frac{5}{2}.Como se pode observar o vertice está acima do eixo Ox, estando parabola virada para cima, o vertice é um mínimo absoluto.Então basta calcular a função para os valores dos extremos do intervalo.

f(-7)=93
f(10)=59