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[AJUDA] Integral convergente ou divergente

[AJUDA] Integral convergente ou divergente

Mensagempor gabrielnandi » Ter Mai 15, 2012 22:45

Amigos...gostaria da ajuda de voces

mostre se é divergente ou convergente!
\int_{1}^{4}{\frac{dx}{{(x-2)}^\frac{2}{3}}}

o calculo é de suma importancia.. pois nao estou conseguindo desenvolver.. caso complique para mostrar o calculo.. o que puder detalhar.. eu fico muito grato

abraço a todos
gabrielnandi
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Re: [AJUDA] Integral convergente ou divergente

Mensagempor LuizAquino » Sex Mai 18, 2012 17:43

gabrielnandi escreveu:Amigos...gostaria da ajuda de voces

mostre se é divergente ou convergente!

\int_{1}^{4}{\frac{dx}{{(x-2)}^\frac{2}{3}}}

o calculo é de suma importancia.. pois nao estou conseguindo desenvolver.. caso complique para mostrar o calculo.. o que puder detalhar.. eu fico muito grato


Para estudar a resolução da integral, eu gostaria de lhe dar uma dica. Você pode usar um programa para isso! Por exemplo, o SAGE, o Mathematica, o Maple, etc.

Alguns desses programas são disponibilizados também na forma de uma página na internet. É o caso do SAGE Notebook e do Mathematica. Por exemplo, siga os passos abaixo para conferir a resolução da integral indefinida associada a esse problema.

  1. Acesse a página: http://www.wolframalpha.com/
  2. No campo de entrada, digite:
    Código: Selecionar todos
    integrate 1/((x-2)^(2/3)) dx
  3. Clique no botão de igual ao lado do campo de entrada.
  4. Após a integral ser calculada, clique no botão "Show steps" ao lado do resultado.
  5. Pronto! Agora basta estudar a resolução.

Após seguir esses passos, você verá que:

\int \frac{1}{(x-2)^\frac{2}{3}} \, dx = 3\sqrt[3]{x - 2} + c

Agora para calcular a integral imprópria desejada, precisamos separar o intervalo [1, 4] em dois: [1, 2] e [2, 4]. Temos então que:

\int_1^4 \frac{1}{(x-2)^\frac{2}{3}} \, dx = \int_1^2 \frac{1}{(x-2)^\frac{2}{3}} \, dx + \int_2^4 \frac{1}{(x-2)^\frac{2}{3}} \, dx

= \lim_{r\to 2^-} \int_1^r \frac{1}{(x-2)^\frac{2}{3}} \, dx + \lim_{r\to 2^+}\int_r^4 \frac{1}{(x-2)^\frac{2}{3}} \, dx

= \lim_{r\to 2^-} \left[3\sqrt[3]{x - 2}\right]_1^r + \lim_{r\to 2^+} \left[3\sqrt[3]{x - 2}\right]_r^4

= \lim_{r\to 2^-} \left[3\sqrt[3]{r - 2} - 3\sqrt[3]{1 - 2}\right] + \lim_{r\to 2^+} \left[3\sqrt[3]{4 - 2} - 3\sqrt[3]{r - 2}\right]

= \lim_{r\to 2^-} \left[3\sqrt[3]{r - 2} + 3\right] + \lim_{r\to 2^+} \left[3\sqrt[3]{2} - 3\sqrt[3]{r - 2}\right]

= 3 + 3\sqrt[3]{2}

Portanto, temos que a integral imprópria indicada é convergente.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?