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Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Mensagempor rycherr » Ter Mai 08, 2012 01:32

quero saber como se faz a integral de sec(x)dx utilizando o metodo de funções racionais de seno e cosseno.
aquele método no qual se substitui Z=tg(x/2) cos(x)=(1-z²)/(1+z²) e sen(x)=2Z/1+Z²

Obrigado.
rycherr
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Re: Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Mensagempor LuizAquino » Ter Mai 08, 2012 12:04

rycherr escreveu:quero saber como se faz a integral de sec(x) dx utilizando o metodo de funções racionais de seno e cosseno.
aquele método no qual se substitui Z=tg(x/2) cos(x)=(1-z²)/(1+z²) e sen(x)=2Z/1+Z²


Note que:

\int \sec x \, dx = \int \frac{1}{\cos x} \, dx = \int \frac{1 + \,\textrm{tg}^2\,\frac{x}{2}}{1 - \,\textrm{tg}^2\,\frac{x}{2}} \, dx

Agora faça a substituição:

z = \textrm{tg} \,\frac{x}{2}

dz = \frac{1}{2}\sec^2 \,\frac{x}{2}\,dx

Lembrando da identidade trigonométrica 1 + \textrm{tg}^2\,\alpha= \sec^2 \alpha , podemos reescrever dz como sendo:

dz = \frac{1}{2}\left(1 + \,\textrm{tg}^2\,\frac{x}{2}\right)\,dx

Agora tente continuar a partir daí.
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Re: Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Mensagempor rycherr » Ter Mai 08, 2012 16:28

sim, até ai eu fiz, parei em ln l 1+cosx+senx/1+cosx-senx l

se igualar isso á ln l secx+tgx l prova-se que é verdadeiro, mas como chegar em ln l secx+tgx l sómente desdobrando a formula?
rycherr
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Re: Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Mensagempor LuizAquino » Ter Mai 08, 2012 17:01

rycherr escreveu:sim, até ai eu fiz, parei em ln l 1+cosx+senx/1+cosx-senx l

se igualar isso á ln l secx+tgx l prova-se que é verdadeiro, mas como chegar em ln l secx+tgx l sómente desdobrando a formula?


Se você já tinha desenvolvido até certa parte, então por que não enviou o seu desenvolvimento?

Note que isso economizaria o tempo da pessoa que está lhe ajudando, pois ela poderia apenas corrigir as partes que estavam erradas. Ou ainda, apenas informar como prosseguir.

Além disso, informar sobre suas tentativas faz parte das Regras deste Fórum. Vide a Regra 1.

De qualquer modo, refaça as suas contas, pois você deveria chegar em:

\int \sec x \, dx = \ln\left|\frac{1 + \,\textrm{tg}\,\frac{x}{2}}{1 - \,\textrm{tg}\,\frac{x}{2}}\right| + c

A partir daí, temos que:

\ln\left|\frac{1 + \,\textrm{tg}\,\frac{x}{2}}{1 - \,\textrm{tg}\,\frac{x}{2}}\right| = \ln\left|\frac{1 + \,\frac{\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1 - \,\frac{\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}\right|

= \ln\left|\frac{\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}\right|

= \ln\left|\frac{\left(\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}\right)\left(\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}\right)}{\left(\cos \frac{x}{2} - \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}\right)\left(\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}\right)\right|

= \ln\left|\frac{\left(\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}\right)^2}{\cos^2 \frac{x}{2} - \,\textrm{sen}^2\,\frac{x}{2}}\right|

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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.