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Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Mensagempor rycherr » Ter Mai 08, 2012 01:32

quero saber como se faz a integral de sec(x)dx utilizando o metodo de funções racionais de seno e cosseno.
aquele método no qual se substitui Z=tg(x/2) cos(x)=(1-z²)/(1+z²) e sen(x)=2Z/1+Z²

Obrigado.
rycherr
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Re: Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Mensagempor LuizAquino » Ter Mai 08, 2012 12:04

rycherr escreveu:quero saber como se faz a integral de sec(x) dx utilizando o metodo de funções racionais de seno e cosseno.
aquele método no qual se substitui Z=tg(x/2) cos(x)=(1-z²)/(1+z²) e sen(x)=2Z/1+Z²


Note que:

\int \sec x \, dx = \int \frac{1}{\cos x} \, dx = \int \frac{1 + \,\textrm{tg}^2\,\frac{x}{2}}{1 - \,\textrm{tg}^2\,\frac{x}{2}} \, dx

Agora faça a substituição:

z = \textrm{tg} \,\frac{x}{2}

dz = \frac{1}{2}\sec^2 \,\frac{x}{2}\,dx

Lembrando da identidade trigonométrica 1 + \textrm{tg}^2\,\alpha= \sec^2 \alpha , podemos reescrever dz como sendo:

dz = \frac{1}{2}\left(1 + \,\textrm{tg}^2\,\frac{x}{2}\right)\,dx

Agora tente continuar a partir daí.
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Re: Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Mensagempor rycherr » Ter Mai 08, 2012 16:28

sim, até ai eu fiz, parei em ln l 1+cosx+senx/1+cosx-senx l

se igualar isso á ln l secx+tgx l prova-se que é verdadeiro, mas como chegar em ln l secx+tgx l sómente desdobrando a formula?
rycherr
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Re: Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Mensagempor LuizAquino » Ter Mai 08, 2012 17:01

rycherr escreveu:sim, até ai eu fiz, parei em ln l 1+cosx+senx/1+cosx-senx l

se igualar isso á ln l secx+tgx l prova-se que é verdadeiro, mas como chegar em ln l secx+tgx l sómente desdobrando a formula?


Se você já tinha desenvolvido até certa parte, então por que não enviou o seu desenvolvimento?

Note que isso economizaria o tempo da pessoa que está lhe ajudando, pois ela poderia apenas corrigir as partes que estavam erradas. Ou ainda, apenas informar como prosseguir.

Além disso, informar sobre suas tentativas faz parte das Regras deste Fórum. Vide a Regra 1.

De qualquer modo, refaça as suas contas, pois você deveria chegar em:

\int \sec x \, dx = \ln\left|\frac{1 + \,\textrm{tg}\,\frac{x}{2}}{1 - \,\textrm{tg}\,\frac{x}{2}}\right| + c

A partir daí, temos que:

\ln\left|\frac{1 + \,\textrm{tg}\,\frac{x}{2}}{1 - \,\textrm{tg}\,\frac{x}{2}}\right| = \ln\left|\frac{1 + \,\frac{\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1 - \,\frac{\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}\right|

= \ln\left|\frac{\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}\right|

= \ln\left|\frac{\left(\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}\right)\left(\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}\right)}{\left(\cos \frac{x}{2} - \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}\right)\left(\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}\right)\right|

= \ln\left|\frac{\left(\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}\right)^2}{\cos^2 \frac{x}{2} - \,\textrm{sen}^2\,\frac{x}{2}}\right|

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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.