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Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Mensagempor rycherr » Ter Mai 08, 2012 01:32

quero saber como se faz a integral de sec(x)dx utilizando o metodo de funções racionais de seno e cosseno.
aquele método no qual se substitui Z=tg(x/2) cos(x)=(1-z²)/(1+z²) e sen(x)=2Z/1+Z²

Obrigado.
rycherr
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Re: Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Mensagempor LuizAquino » Ter Mai 08, 2012 12:04

rycherr escreveu:quero saber como se faz a integral de sec(x) dx utilizando o metodo de funções racionais de seno e cosseno.
aquele método no qual se substitui Z=tg(x/2) cos(x)=(1-z²)/(1+z²) e sen(x)=2Z/1+Z²


Note que:

\int \sec x \, dx = \int \frac{1}{\cos x} \, dx = \int \frac{1 + \,\textrm{tg}^2\,\frac{x}{2}}{1 - \,\textrm{tg}^2\,\frac{x}{2}} \, dx

Agora faça a substituição:

z = \textrm{tg} \,\frac{x}{2}

dz = \frac{1}{2}\sec^2 \,\frac{x}{2}\,dx

Lembrando da identidade trigonométrica 1 + \textrm{tg}^2\,\alpha= \sec^2 \alpha , podemos reescrever dz como sendo:

dz = \frac{1}{2}\left(1 + \,\textrm{tg}^2\,\frac{x}{2}\right)\,dx

Agora tente continuar a partir daí.
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Re: Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Mensagempor rycherr » Ter Mai 08, 2012 16:28

sim, até ai eu fiz, parei em ln l 1+cosx+senx/1+cosx-senx l

se igualar isso á ln l secx+tgx l prova-se que é verdadeiro, mas como chegar em ln l secx+tgx l sómente desdobrando a formula?
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Re: Intergral da Sec(x) dx usando tg(x/2)=Z

Mensagempor LuizAquino » Ter Mai 08, 2012 17:01

rycherr escreveu:sim, até ai eu fiz, parei em ln l 1+cosx+senx/1+cosx-senx l

se igualar isso á ln l secx+tgx l prova-se que é verdadeiro, mas como chegar em ln l secx+tgx l sómente desdobrando a formula?


Se você já tinha desenvolvido até certa parte, então por que não enviou o seu desenvolvimento?

Note que isso economizaria o tempo da pessoa que está lhe ajudando, pois ela poderia apenas corrigir as partes que estavam erradas. Ou ainda, apenas informar como prosseguir.

Além disso, informar sobre suas tentativas faz parte das Regras deste Fórum. Vide a Regra 1.

De qualquer modo, refaça as suas contas, pois você deveria chegar em:

\int \sec x \, dx = \ln\left|\frac{1 + \,\textrm{tg}\,\frac{x}{2}}{1 - \,\textrm{tg}\,\frac{x}{2}}\right| + c

A partir daí, temos que:

\ln\left|\frac{1 + \,\textrm{tg}\,\frac{x}{2}}{1 - \,\textrm{tg}\,\frac{x}{2}}\right| = \ln\left|\frac{1 + \,\frac{\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{1 - \,\frac{\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}\right|

= \ln\left|\frac{\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} - \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}\right|

= \ln\left|\frac{\left(\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}\right)\left(\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}\right)}{\left(\cos \frac{x}{2} - \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}}\right)\left(\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}\right)\right|

= \ln\left|\frac{\left(\cos \frac{x}{2} + \,\textrm{sen}\,\frac{x}{2}\right)^2}{\cos^2 \frac{x}{2} - \,\textrm{sen}^2\,\frac{x}{2}}\right|

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Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


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Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
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isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: