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[Integrais de linha]

[Integrais de linha]

Mensagempor AlexandreTS » Sáb Mai 05, 2012 22:52

Calcular \int_{c}^{}x{y}^{4} , sendo C a metade direita do círculo {x}^{2} + {y}^{2} = 16.

O que eu fiz:
1) Achar uma parametrização x(t) e y(t):
Utilizei x(t) = cos(t) e y(t) = sen(t). Elevando as derivadas das funções componentes ao quadrado, somando elas e colocando na raiz, temos 1, então a integral de linha fica igual a:

\int_{c}^{}cos(t){sen(t)}^{4}

2) Coloquei como limites de integração \frac{-\pi}{2} e \frac{\pi}{2}.

3) Fiz então a substituição u = {sen(t)}^{2}, de modo que dt = \frac{du}{2cos(t)} e a integral fica assim:
\frac{1}{2}\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{u}^{2}du
A partir disso ficou fácil calcular o valor da integral, mas o resultado, segundo o livro, é de 1638,4. Não sei em que parte errei, se os limites escolhidos estão certos... tem um momento em que eu elimino o cosseno da integral por uma divisão; acho que isso está errado, mas não sei se foi exatamente nessa parte que eu errei.

Ajudem por favor!
AlexandreTS
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Re: [Integrais de linha]

Mensagempor AlexandreTS » Sáb Mai 05, 2012 22:55

Aaaah o que eu errei foi na parametrização, certo? Eu preciso colocar rcos(t) e rsen(t), então teria x(t) = 4cos(t) e y(t) = 4sen(t)... certo?
AlexandreTS
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.