felipe10 escreveu:Como calcular por definição o seguinte limite:
lim (3x² -7x + 2) = -2, quando x tende a 1; EPSILON = 0,02
Aplicando a definição de limite, desejamos determinar
tal que:
Desenvolvendo a última inequação, temos que:
Fatorando o polinômio
, temos que
.
Precisamos agora delimitar o termo
. Como x se aproxima de 1, é razoável dizer que x está no intervalo
(ou seja,
). Analisando agora o gráfico da função
para x no intervalo
, temos que
. Vide a figura abaixo.
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Note que ao dizer que
, estamos dizendo que
. Ou seja, estamos dizendo que
. Isso significa que estamos escolhendo um certo
.
Entretanto, considerando que
, temos que:
Isso significa que estamos escolhendo
.
Até aqui já escolhemos dois valores para
. Mas qual deles devemos usar? Devemos usar aquele que garanta ao mesmo tempo que duas coisas aconteçam:
(i)
;
(ii)
.
Para ter essa garantia, basta escolher
como sendo o menor dos dois valores. Isto é, escolheremos
. Como
nesse caso, vamos escolher
.
Desse modo, temos que:
Aqui acaba o exercício. Mas vamos verificar que essa escolha de
realmente funciona.
Supondo que
, podemos afirmar que
. Podemos afirmar isso, pois 0,04/5 = 0,008 e 1/2 = 0,5. Sendo assim, se |x - 1| é um número menor do que 0,008, então ele também será menor do que 0,5. Por outro lado, como já vimos anteriormente, se
, então
. Resumindo, temos que:
Multiplicando termo a termo a primeira e a última inequação, temos que
Com isso verificamos que de fato: