Provar com derivadas o número de raizes

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Provar com derivadas o número de raizes

Mensagempor Bruno Monteiro » Qui Jun 18, 2009 01:24

Boa noite,

Tenho um problema que nao sei como começar, acho que usa o Teorema do Valor Intermediário.

Eu preciso comprovar que para todo n > 0,
todo polinomio de grau n tem, no maximo, n ra?zes reais.
Sugeriram me mostrar por induçao em n. Para n = 1, é facil mostrar. Agora,
suponha que todo polinomio de grau n tem, no maximo, n ra?zes. Usando derivadas e analise de graficos, eu tenho que concluir que um
polinomio de grau n + 1 tem, no maximo, n + 1 ra?zes.

Se alguem puder ajudar ficarei muito grato.
Bruno Monteiro
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.

Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.

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