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Região de integração e esboço

Região de integração e esboço

Mensagempor Cleyson007 » Sáb Abr 14, 2012 10:57

Bom dia a todos!

Calcule a integral iterada \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt[]{x}}(2xy)\,dydx e esboce sua região de integração.

Resolvendo, encontrei \frac{1}{6}.

Preciso de uma mãozinha para esboçar a região de integração.

Aguardo retorno.
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Re: Região de integração e esboço

Mensagempor LuizAquino » Sáb Abr 14, 2012 11:52

Cleyson007 escreveu:Calcule a integral iterada \int_{0}^{1}\int_{x^2}^{\sqrt[]{x}}(2xy)\,dydx e esboce sua região de integração.

Resolvendo, encontrei \frac{1}{6}.


Para conferir a sua reposta, você pode usar um programa. Por exemplo, o SAGE, o Mathematica, o Maple, etc.

Alguns desses programas são disponibilizados também na forma de uma página na internet. É o caso do SAGE Notebook e do Mathematica. Por exemplo, siga os passos abaixo para conferir a sua resolução.

  1. Acesse a página: http://www.wolframalpha.com/
  2. No campo de entrada, digite:
    Código: Selecionar todos
    integrate (integrate 2xy dy  from x^2 to sqrt(x)) dx from 0 to 1
  3. Clique no botão de igual ao lado do campo de entrada.
  4. Pronto! Agora basta comparar o resultado com o seu.

Cleyson007 escreveu:Preciso de uma mãozinha para esboçar a região de integração.


Analisando a integral, temos que 0 \leq x \leq 1 e x^2 \leq y \leq \sqrt{x} .

O intervalo para x já está explícito.

Quanto ao intervalo para y, note que ele está "acima" do gráfico da função f(x) = x^2 e "abaixo" do gráfico da função g(x) = \sqrt{x} . Além disso, note que f(0) = g(0) = 0 e f(1) = g(1) = 1.

Agora tente desenhar o gráfico das funções f e g para x no intervalo [0, 1].
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Re: Região de integração e esboço

Mensagempor Cleyson007 » Dom Abr 15, 2012 10:43

Bom dia Luiz Aquino!

1. Aquino, através do wolframalpha constatei que minha resposta está correta.

2. Entendi perfeitamente os dois intervalos que você escreveu (eu também tinha feito por aqui).

3. Compreendo que o intervalo para x já está explicito.

4. Compreendo também que a função y está "acima" do gráfico de f(x) e "abaixo" do gráfico g(x).

5. A partir daí não consegui entender...

Por favor, me ajude.

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Re: Região de integração e esboço

Mensagempor DanielFerreira » Dom Abr 15, 2012 13:53

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Espero ter ajudado!
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Re: Região de integração e esboço

Mensagempor Cleyson007 » Dom Abr 15, 2012 18:16

Boa tarde Danjr5!

Danjr, consegui compreender até aqui x(x-1)(x²+x+1)=0

Não consegui compreender por que a área hachurada é aquela.

Aguardo retorno.
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Re: Região de integração e esboço

Mensagempor DanielFerreira » Dom Abr 15, 2012 19:45

Cleyson007 escreveu:Boa tarde Danjr5!

Danjr, consegui compreender até aqui x(x-1)(x²+x+1)=0

Não consegui compreender por que a área hachurada é aquela.

Aguardo retorno.

Cleyson,
A área hachurada é a reunião dos pontos comuns às curvas.
Para visualizá-la faça a intersecção entre as figuras(retas, curvas,...).
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D