[teoria de limites] dúvida numa questão de prova

por **Fabio Wanderley** » Sex Abr 13, 2012 23:38

Olá, colegas

Caiu a seguinte questão na minha prova de Cálculo I:

"Considere o polinômio de grau n, onde n é ímpar, dado por:

$p(x) = a_n x^n + a_n_-_1{x}^{n-1}+a_n_-_2{x}^{n-2}+...+a_1x+a_0,$

e os a são todos reais. Mostre, usando a teoria de limites, que p(x) admite pelo menos uma raiz real."

Daí eu respondi exatamente assim:

Toda função polinomial é contínua. E de acordo com o Teorema de Bolzano, em um intervalo [a,b] se f(a) e f(b) tiverem sinais contrários, então haverá pelo menos um c em que f(c) = 0.

Pela correção do professor, ele circulou o "f(a)" e o "f(b)" e escreveu "Isso ocorre no polinômio dado?" E a questão foi zerada.

Minha dúvida então é se eu errei por colocar f em vez de p, ou se ela é resolvida corretamente de outra forma.

Desde já agradeço!

por **MarceloFantini** » Sáb Abr 14, 2012 00:05

Não foi pela mera troca de nome da função que você errou, mas sim porque simplesmente não resolveu. Seu raciocínio não está errado, porém pense: você exibiu dois pontos tais que um tenha imagem positiva e outro imagem negativa? A resposta é não.

Como o polinômio tem grau ímpar, temos $\lim_{x \to - \infty} p(x) = - \infty$ enquanto $\lim_{x \to +\infty} p(x) = + \infty$ , logo existem pontos $a, b \in \mathbb{R}$ tais que p(a) < 0

e

pelo fato que todo polinômio é contínuo. Pelo teorema de Bolzano, segue a conclusão.

por **Fabio Wanderley** » Sáb Abr 14, 2012 00:43

Obrigado, Marcelo!

Agora pude ver que realmente não respondi a questão, faltaram os pontos... E eu ainda não havia considerado o "Mostre, usando a teoria de limites(...)"