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Como resolver essa questão?

Como resolver essa questão?

Mensagempor jmoura » Sáb Mar 31, 2012 23:58

Me deparei com uma questão de uma prova antiga que não estou conseguindo resolver:

" Verifique se existe um número real L tal que a função f definida por

f(x)= cos\left(\frac{1}{\sqrt[]{x}} \right). sen\left(\frac{\sqrt[]{x+1}-1}{\sqrt[]{x}} \right), se x>0 e
f(x)= L, se x=0

é contínua no intervalo [0, +\infty). "
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Re: Como resolver essa questão?

Mensagempor NMiguel » Dom Abr 01, 2012 08:06

f(x) é continua em \[[0,+\infty )\] se e só se \[f(0)=\lim_{x \to 0}f(x)\], ou seja, \[L=\lim_{x \to 0}f(x)\].

Como
\lim_{x \to 0}f(x)= \lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}\right )\cdot \sin \left (\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x}}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \sin \left (\frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}\right )

=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \sin \left ( \frac{x+1-1}{\sqrt{x}\left (\sqrt{x+1}+1  \right )}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \sin \left ( \frac{x+1-1}{\sqrt{x}\left (\sqrt{x+1}+1  \right )}\right )

=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \lim_{x \to 0}\sin \left ( \frac{x}{\sqrt{x}\left (\sqrt{x+1}+1  \right )}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \lim_{x \to 0}\sin \left ( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+1}\right )

\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \sin \left ( \frac{0}{2}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot 0=0

Assim, f(x) é continua em \[[0,+\infty )\] se e só se L=0
Editado pela última vez por NMiguel em Dom Abr 01, 2012 19:14, em um total de 1 vez.
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Re: Como resolver essa questão?

Mensagempor Fabio Wanderley » Dom Abr 01, 2012 16:05

NMiguel escreveu:\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \lim_{x \to 0}\sin \left ( \frac{0}{2}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot 0=0


Achei interessante esse exercício. Nunca havia feito um igual. Mas na resolução dele, nesta passagem não precisaria afirmar que a função cos\left(\frac{1}{\sqrt[]{x}} \right) é limitada, e aplicar o Teorema do Confronto para provar que o limite é igual a zero?
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Re: Como resolver essa questão?

Mensagempor NMiguel » Dom Abr 01, 2012 19:13

Sim. De facto é necessário. Sem isso, não poderíamos afirmar que este limite é igual a 0. Obrigado pela observação.

Fica então um complemento à resolução.

\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot \lim_{x \to 0}\sin \left ( \frac{0}{2}\right )=\lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot 0=0


Sabemos que -1\leq \cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\leq 1.

Assim, -1 \cdot 0 \leq \cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right ) \leq 1 \cdot 0, ou seja, 0 \leq \cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right ) \leq 0.

Daqui, sai que \lim_{x \to 0}\cos \left (\frac{1}{\sqrt{x}}  \right )\cdot 0=0.

Assim, fica completa a demonstração :)
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?