Gabriel_DvT escreveu:Usando a definição, provar que:
Gabriel_DvT escreveu:A resolução é a seguinte:
Vamoso mostrar que, dado
existe
, tal que:
sempre que
Da desigualdade que envolve
temos:
Necessitamos agora substituir |x+4| por um valor constante. Neste caso vamos supor e então, de , seguem as seguintes desigualdades equivalentes: <--- (Eis a duvida 1): Por que fazer isso? Simplesmente não sei de onde ele tirou isso.
Você deseja analisar o que acontece quando x está
próximo de 4. Nesse sentido, podemos nos concentrar
apenas no intervalo 4 - 1 < x < 4 + 1. Também poderíamos, se quiséssemos, nos concentrar
apenas no intervalo 4 - 1/2 < x < 4 + 1/2. Ou ainda, nos concentrar
apenas no intervalo 4 - 1/4 < x < 4 + 1/4. Em resumo, escolhendo qualquer número
tal que
, podemos nos concentrar
apenas no intervalo
.
Em particular, por simplicidade, vamos
escolher nos concentrar no intervalo 4 - 1 < x < 4 + 1. Lembrando que pela definição de limites o x não precisa ser
igual a 4, essa inequação é equivalente a
. Ou seja, olhando para definição de limite, nós estamos escolhendo
.
Vamos agora somar 4 a ambas as partes da desigualdade 4 - 1 < x < 4 + 1. Desse modo, temos que 7 < x + 4 < 9. Note que o número x + 4 está no intervalo (7, 9). Isso significa que esse número é positivo e portanto podemos escrever que x + 4 = |x + 4| nesse intervalo. Desse modo, podemos dizer que |x + 4| < 9.
Fazendo então
, note que podemos afirmar que:
Lembrando da definição de limites, note que fazer
significa que
escolhemos .
Ora, lembre-se também que antes tínhamos escolhido
.
Finalmente, vamos usar qual desses dois valores de
? Nós vamos usar o
menor dos dois, isto é, vamos escolher
(aqui a notação
representa o menor dos dois valores a e b. Por exemplo,
).
Mas por que escolher o menor dos dois? Escolhendo
como o menor dos dois valores, vamos garantir que duas relações irão acontecer:
(i)
;
(ii)
.
Sendo assim, para essa escolha de
podemos dizer que:
Em resumo, provamos que dado um
existe um
(que é definido como
) tal que:
Mas isso é exatamente a definição formal para:
Gabriel_DvT escreveu:Bom, estou começando a estudar cálculo para o curso de engenharia de computação e estou fazendo isso praticamente por conta própria.
Se você tiver interesse em assistir videoaulas sobre Cálculo, então eu gostaria de recomendar o meu canal no YouTube:
http://www.youtube.com/LCMAquinoEu espero que ele possa lhe ajudar em seus estudos.