Como resolver esta indeterminação?

por **joaofonseca** » Qui Mar 22, 2012 14:57

Seja,

$f(x)=\frac{e^x}{x+1}$

Para encontrar a derivada de f em x=0 faço,

$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

que fica,

$\lim_{x \to 0}\frac{\frac{e^x}{x+1}+1}{x}$

Ao substituir obtenho uma indeterminação do tipo, 0/0. Sei que a técnica de levantamento desta indeterminhação passa por fatorar de forma a encontrar o fator comum.Mas eu não estou a ver como fatorar o numerador.

Graficamente já verifiquei que a derivada existe em x=0.

Podem me dar alguma pista de como começar?
Obrigado

por **LuizAquino** » Qui Mar 22, 2012 17:55

joaofonseca escreveu:Seja,

$f(x)=\frac{e^x}{x+1}$

Para encontrar a derivada de f em x=0 faço,

$\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

que fica,

$\lim_{x \to 0}\dfrac{\frac{e^x}{x+1}+1}{x}$

Na verdade, fica:

$\lim_{x \to 0}\frac{\frac{e^x}{x+1} - 1}{x}$

joaofonseca escreveu:Ao substituir obtenho uma indeterminação do tipo, 0/0.

Com a alteração que indiquei acima, de fato temos essa indeterminação.

joaofonseca escreveu:Sei que a técnica de levantamento desta indeterminação passa por fatorar de forma a encontrar o fator comum. Mas eu não estou a ver como fatorar o numerador.

Nesse caso a técnica não é por fatoração.

joaofonseca escreveu:Graficamente já verifiquei que a derivada existe em x=0.

Ok.

joaofonseca escreveu:Podem me dar alguma pista de como começar?

Note que o limite pode ser escrito como:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - x - 1}{x(x+1)}$

Agora faça a substituição u = e^x - 1

. Desse modo, quando $x\to 0$ temos que $u\to 0$ . Além disso, temos que $\ln(u + 1) = x$ .

Temos então que:

$\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - x - 1}{x(x+1)} = \lim_{u \to 0} \dfrac{u - \ln(u + 1)}{[\ln(u + 1)][\ln(u + 1) + 1]}$

Agora tente continuar a partir daí.

por **joaofonseca** » Qui Mar 22, 2012 18:37

Obrigado pela ajuda.
Agora ficou assim:

$\lim_{u\to 0} \frac{u-ln(u+1)}{ln(u+1)[ln(u+1)+1]}$

$\lim_{u\to 0} \frac{u}{ln(u+1)[ln(u+1)+1]}-\lim_{u\to 0}\frac{ln(u+1)}{ln(u+1)[ln(u+1)+1]}$

$\lim_{u\to 0} \frac{u}{ln(u+1)} \cdot \lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}$

$\lim_{u\to 0} \frac{1}{\frac{ln(u+1)}{u}} \cdot \lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}$

$\frac{1}{1} \cdot \lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}$

$\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}=0$

Com a tua dica, ficou facíl.Obrigado