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Como resolver esta indeterminação?

Como resolver esta indeterminação?

Mensagempor joaofonseca » Qui Mar 22, 2012 14:57

Seja,

f(x)=\frac{e^x}{x+1}

Para encontrar a derivada de f em x=0 faço,

\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}

que fica,

\lim_{x \to 0}\frac{\frac{e^x}{x+1}+1}{x}

Ao substituir obtenho uma indeterminação do tipo, 0/0. Sei que a técnica de levantamento desta indeterminhação passa por fatorar de forma a encontrar o fator comum.Mas eu não estou a ver como fatorar o numerador.

Graficamente já verifiquei que a derivada existe em x=0.

Podem me dar alguma pista de como começar?
Obrigado
joaofonseca
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Re: Como resolver esta indeterminação?

Mensagempor LuizAquino » Qui Mar 22, 2012 17:55

joaofonseca escreveu:Seja,

f(x)=\frac{e^x}{x+1}

Para encontrar a derivada de f em x=0 faço,

\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}

que fica,

\lim_{x \to 0}\dfrac{\frac{e^x}{x+1}+1}{x}


Na verdade, fica:

\lim_{x \to 0}\frac{\frac{e^x}{x+1} - 1}{x}

joaofonseca escreveu:Ao substituir obtenho uma indeterminação do tipo, 0/0.


Com a alteração que indiquei acima, de fato temos essa indeterminação.

joaofonseca escreveu:Sei que a técnica de levantamento desta indeterminação passa por fatorar de forma a encontrar o fator comum. Mas eu não estou a ver como fatorar o numerador.


Nesse caso a técnica não é por fatoração.

joaofonseca escreveu:Graficamente já verifiquei que a derivada existe em x=0.


Ok.

joaofonseca escreveu:Podem me dar alguma pista de como começar?


Note que o limite pode ser escrito como:

\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - x - 1}{x(x+1)}

Agora faça a substituição u = e^x - 1 . Desse modo, quando x\to 0 temos que u\to 0 . Além disso, temos que \ln(u + 1) = x .

Temos então que:

\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - x - 1}{x(x+1)} = \lim_{u \to 0} \dfrac{u - \ln(u + 1)}{[\ln(u + 1)][\ln(u + 1) + 1]}

Agora tente continuar a partir daí.
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Re: Como resolver esta indeterminação?

Mensagempor joaofonseca » Qui Mar 22, 2012 18:37

Obrigado pela ajuda.
Agora ficou assim:

\lim_{u\to 0} \frac{u-ln(u+1)}{ln(u+1)[ln(u+1)+1]}

\lim_{u\to 0} \frac{u}{ln(u+1)[ln(u+1)+1]}-\lim_{u\to 0}\frac{ln(u+1)}{ln(u+1)[ln(u+1)+1]}

\lim_{u\to 0} \frac{u}{ln(u+1)} \cdot \lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}

\lim_{u\to 0} \frac{1}{\frac{ln(u+1)}{u}} \cdot \lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}

\frac{1}{1} \cdot \lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}

\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}=0

Com a tua dica, ficou facíl.Obrigado
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Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


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Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


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my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
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isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


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Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: