• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Como resolver esta indeterminação?

Como resolver esta indeterminação?

Mensagempor joaofonseca » Qui Mar 22, 2012 14:57

Seja,

f(x)=\frac{e^x}{x+1}

Para encontrar a derivada de f em x=0 faço,

\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}

que fica,

\lim_{x \to 0}\frac{\frac{e^x}{x+1}+1}{x}

Ao substituir obtenho uma indeterminação do tipo, 0/0. Sei que a técnica de levantamento desta indeterminhação passa por fatorar de forma a encontrar o fator comum.Mas eu não estou a ver como fatorar o numerador.

Graficamente já verifiquei que a derivada existe em x=0.

Podem me dar alguma pista de como começar?
Obrigado
joaofonseca
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 196
Registrado em: Sáb Abr 30, 2011 12:25
Localização: Lisboa
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática
Andamento: cursando

Re: Como resolver esta indeterminação?

Mensagempor LuizAquino » Qui Mar 22, 2012 17:55

joaofonseca escreveu:Seja,

f(x)=\frac{e^x}{x+1}

Para encontrar a derivada de f em x=0 faço,

\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}

que fica,

\lim_{x \to 0}\dfrac{\frac{e^x}{x+1}+1}{x}


Na verdade, fica:

\lim_{x \to 0}\frac{\frac{e^x}{x+1} - 1}{x}

joaofonseca escreveu:Ao substituir obtenho uma indeterminação do tipo, 0/0.


Com a alteração que indiquei acima, de fato temos essa indeterminação.

joaofonseca escreveu:Sei que a técnica de levantamento desta indeterminação passa por fatorar de forma a encontrar o fator comum. Mas eu não estou a ver como fatorar o numerador.


Nesse caso a técnica não é por fatoração.

joaofonseca escreveu:Graficamente já verifiquei que a derivada existe em x=0.


Ok.

joaofonseca escreveu:Podem me dar alguma pista de como começar?


Note que o limite pode ser escrito como:

\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - x - 1}{x(x+1)}

Agora faça a substituição u = e^x - 1 . Desse modo, quando x\to 0 temos que u\to 0 . Além disso, temos que \ln(u + 1) = x .

Temos então que:

\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - x - 1}{x(x+1)} = \lim_{u \to 0} \dfrac{u - \ln(u + 1)}{[\ln(u + 1)][\ln(u + 1) + 1]}

Agora tente continuar a partir daí.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: Como resolver esta indeterminação?

Mensagempor joaofonseca » Qui Mar 22, 2012 18:37

Obrigado pela ajuda.
Agora ficou assim:

\lim_{u\to 0} \frac{u-ln(u+1)}{ln(u+1)[ln(u+1)+1]}

\lim_{u\to 0} \frac{u}{ln(u+1)[ln(u+1)+1]}-\lim_{u\to 0}\frac{ln(u+1)}{ln(u+1)[ln(u+1)+1]}

\lim_{u\to 0} \frac{u}{ln(u+1)} \cdot \lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}

\lim_{u\to 0} \frac{1}{\frac{ln(u+1)}{u}} \cdot \lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}

\frac{1}{1} \cdot \lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}

\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}=0

Com a tua dica, ficou facíl.Obrigado
joaofonseca
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 196
Registrado em: Sáb Abr 30, 2011 12:25
Localização: Lisboa
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática
Andamento: cursando


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 38 visitantes

 



Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.