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Como resolver esta indeterminação?

Como resolver esta indeterminação?

Mensagempor joaofonseca » Qui Mar 22, 2012 14:57

Seja,

f(x)=\frac{e^x}{x+1}

Para encontrar a derivada de f em x=0 faço,

\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}

que fica,

\lim_{x \to 0}\frac{\frac{e^x}{x+1}+1}{x}

Ao substituir obtenho uma indeterminação do tipo, 0/0. Sei que a técnica de levantamento desta indeterminhação passa por fatorar de forma a encontrar o fator comum.Mas eu não estou a ver como fatorar o numerador.

Graficamente já verifiquei que a derivada existe em x=0.

Podem me dar alguma pista de como começar?
Obrigado
joaofonseca
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Re: Como resolver esta indeterminação?

Mensagempor LuizAquino » Qui Mar 22, 2012 17:55

joaofonseca escreveu:Seja,

f(x)=\frac{e^x}{x+1}

Para encontrar a derivada de f em x=0 faço,

\lim_{x \to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}

que fica,

\lim_{x \to 0}\dfrac{\frac{e^x}{x+1}+1}{x}


Na verdade, fica:

\lim_{x \to 0}\frac{\frac{e^x}{x+1} - 1}{x}

joaofonseca escreveu:Ao substituir obtenho uma indeterminação do tipo, 0/0.


Com a alteração que indiquei acima, de fato temos essa indeterminação.

joaofonseca escreveu:Sei que a técnica de levantamento desta indeterminação passa por fatorar de forma a encontrar o fator comum. Mas eu não estou a ver como fatorar o numerador.


Nesse caso a técnica não é por fatoração.

joaofonseca escreveu:Graficamente já verifiquei que a derivada existe em x=0.


Ok.

joaofonseca escreveu:Podem me dar alguma pista de como começar?


Note que o limite pode ser escrito como:

\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - x - 1}{x(x+1)}

Agora faça a substituição u = e^x - 1 . Desse modo, quando x\to 0 temos que u\to 0 . Além disso, temos que \ln(u + 1) = x .

Temos então que:

\lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - x - 1}{x(x+1)} = \lim_{u \to 0} \dfrac{u - \ln(u + 1)}{[\ln(u + 1)][\ln(u + 1) + 1]}

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Re: Como resolver esta indeterminação?

Mensagempor joaofonseca » Qui Mar 22, 2012 18:37

Obrigado pela ajuda.
Agora ficou assim:

\lim_{u\to 0} \frac{u-ln(u+1)}{ln(u+1)[ln(u+1)+1]}

\lim_{u\to 0} \frac{u}{ln(u+1)[ln(u+1)+1]}-\lim_{u\to 0}\frac{ln(u+1)}{ln(u+1)[ln(u+1)+1]}

\lim_{u\to 0} \frac{u}{ln(u+1)} \cdot \lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}

\lim_{u\to 0} \frac{1}{\frac{ln(u+1)}{u}} \cdot \lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}

\frac{1}{1} \cdot \lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}

\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}-\lim_{u\to 0}\frac{1}{ln(u+1)+1}=0

Com a tua dica, ficou facíl.Obrigado
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}