Continuidade Limite

por **CaioLemos** » Qui Mar 22, 2012 13:18

Bom dia rapaziada, sou novo no forum e nao sei muito bem como editar as formulas, mas acho que dá para entender:
1-Determine o valor da constante C para que F seja continua em [0, $\infty$ )

$f(x)= (\!x+\sqrt[2]{x}-2)/x-1 , se \:x<=x<1$
$(cx + 5)/{x}^{2} +3 , se\: x =>1$
<=,=> Querem dizer maior ou igual

Bom, a minha dúvida é a seguinte: No primeiro momento, eu igualei a f(x) $(cx + 5)/{x}^{2} +3 , se\: x =>1$
substituio x por 1para achar f(1), porem quando vo fazer o limite da $f(x)= (\!x+\sqrt[2]{x}-2)/x-1 , se \:x<=x<1$
com X tendendo a 1, caio numa indeterminação 0/0. Minha idéia era achar o valor do limite $f(x)= (\!x+\sqrt[2]{x}-2)/x-1 , se \:x<=x<1$ com X tendendo a 1 e dps igualar a F(1) para achar o C

Queria saber se o meu pensamento está correto e como sair da indeterminação
Obrigado

por **LuizAquino** » Qui Mar 22, 2012 15:59

CaioLemos escreveu:1-Determine o valor da constante C para que F seja continua em [0, $\infty$ )

$f(x)= (\!x+\sqrt[2]{x}-2)/x-1 , se \:x<=x<1$
$(cx + 5)/{x}^{2} +3 , se\: x =>1$
<=,=> Querem dizer maior ou igual

O que você escreveu é equivalente a:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x + \sqrt{x} - 2}{x} - 1,\,\textrm{ se } 0\leq x < 1 \\ \\ \dfrac{cx + 5}{x^2} + 3,\,\textrm{ se } x \geq 1 \\ \end{cases}$

Mas eu presumo que a função original seja:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x + \sqrt{x} - 2}{x - 1},\,\textrm{ se } 0\leq x < 1 \\ \\ \dfrac{cx + 5}{x^2 + 3},\,\textrm{ se } x \geq 1 \\ \end{cases}$

Se você desejava escrever algo assim, você deveria ter usado algo como:

$\left(x+\sqrt{x}-2\right)/(x-1)$ , se 0<= x <1
$(cx + 5)/\left(x^2 +3\right)$ , se x =>1

Note a importância do uso adequado dos parênteses!

CaioLemos escreveu:Bom, a minha dúvida é a seguinte: No primeiro momento, eu igualei a f(x) $(cx + 5)/{x}^{2} +3 , se\: x =>1$
substituio x por 1 para achar f(1), porem quando vo fazer o limite da $f(x)= (\!x+\sqrt[2]{x}-2)/x-1 , se \:x<=x<1$
com X tendendo a 1, caio numa indeterminação 0/0. Minha idéia era achar o valor do limite $f(x)= (\!x+\sqrt[2]{x}-2)/x-1 , se \:x<=x<1$ com X tendendo a 1 e dps igualar a F(1) para achar o C

Queria saber se o meu pensamento está correto e como sair da indeterminação

Temos que:

$f(1) = \dfrac{c\cdot 1 + 5}{1^2 + 3} = \dfrac{c + 5}{4}$

Desejamos determinar c de tal modo que:

$\lim_{x\to 1} f(x) = f(1)$

Nós já temos que:

$\lim_{x\to 1^+} f(x) = f(1)$

Falta agora:

$\lim_{x\to 1^-} f(x) = f(1)$

Desejamos então que:

$\lim_{x\to 1^-} \dfrac{x + \sqrt{x} - 2}{x - 1} = \dfrac{c + 5}{4}$

Há várias formas de resolver esse limite. Uma delas é usando a substituição $u = \sqrt{x}$ . Desse modo, quando $x\to 1^-$ temos que $u\to 1^-$ . Podemos então reescrever esse limite como:

$\lim_{u\to 1^-} \dfrac{u^2 + u - 2}{u^2 - 1} = \dfrac{c + 5}{4}$

Fatorando os polinômios que aparecem no numerador e no denominador, temos que:

$\lim_{u\to 1^-} \dfrac{(u + 2)(u - 1)}{(u - 1)(u + 1)} = \dfrac{c + 5}{4}$

$\lim_{u\to 1^-} \dfrac{u + 2}{u + 1} = \dfrac{c + 5}{4}$

$\dfrac{3}{2} = \dfrac{c + 5}{4}$

Agora basta terminar o exercício.