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[Integral] indefinida

[Integral] indefinida

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qui Mar 01, 2012 20:30

Pessoal, travei numa integral que tem cara de simples, mas me enganou... Ei-la:

\int \frac{1}{x^2lnx}dx

Tentando por partes, fiz u=\frac{1}{lnx} \Rightarrow du=-\frac{1}{x(lnx)^2}dx e dv=\frac{1}{x^2}dx \Rightarrow v=-{1}{x}

Fiz todos os passos da técnica de resolução por partes e cheguei a 0=0. Alguém pode me ajudar?
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor MarceloFantini » Qui Mar 01, 2012 21:35

Onde encontrou esta integral? Pelo Wolfram Alpha, ela não pode ser expressa por funções elementares:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... ln+x%29+dx
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qui Mar 01, 2012 22:01

Ela veio de uma equação diferencial.
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor MarceloFantini » Qui Mar 01, 2012 22:16

Pode nos mostrar a equação diferencial?
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qui Mar 01, 2012 22:43

A equação é:

ylnx\frac{dy}{dx}=\left(\frac{y+1}{x}\right)^2

Essa equação diferencial leva àquela integral. No entanto, cometi um erro ao copiá-la do livro, pois a equação correta a ser resolvida é:

ylnx\frac{dx}{dy}=\left(\frac{y+1}{x}\right)^2

Essa é uma equação separável e resolvi sem problemas. Desculpe pelo erro. Mesmo assim, fiquei curioso a respeito daquela integral. Quando ela não pode ser escrita em funções elementares, não há nenhuma maneira de calculá-la? Se fosse uma integral definida, vinda de uma aplicação, seria possível fazer uma aproximação de seu resultado?
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor MarceloFantini » Sex Mar 02, 2012 18:41

Provavelmente, mas não seria fácil. O Wolfram colocava-a em função de integrais estranhas.
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 03, 2012 00:46

Aliocha Karamazov escreveu:Quando ela não pode ser escrita em funções elementares, não há nenhuma maneira de calculá-la?


De forma analítica, não há.

Isso acontece com outras integrais.

Por exemplo, é o caso da seguinte integral:

\int e^{-x^2} \,dx

Essa integral não pode ser escrita por funções elementares.

Ela dá origem ao que definimos por Função erro.

Aliocha Karamazov escreveu:Se fosse uma integral definida, vinda de uma aplicação, seria possível fazer uma aproximação de seu resultado?


Sim, pode ser possível. Para isso usamos técnicas de Cálculo Numérico.
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sáb Mar 03, 2012 21:59

Obrigado pelas informações.
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
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Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.