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[Integral] indefinida

[Integral] indefinida

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qui Mar 01, 2012 20:30

Pessoal, travei numa integral que tem cara de simples, mas me enganou... Ei-la:

\int \frac{1}{x^2lnx}dx

Tentando por partes, fiz u=\frac{1}{lnx} \Rightarrow du=-\frac{1}{x(lnx)^2}dx e dv=\frac{1}{x^2}dx \Rightarrow v=-{1}{x}

Fiz todos os passos da técnica de resolução por partes e cheguei a 0=0. Alguém pode me ajudar?
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor MarceloFantini » Qui Mar 01, 2012 21:35

Onde encontrou esta integral? Pelo Wolfram Alpha, ela não pode ser expressa por funções elementares:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... ln+x%29+dx
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qui Mar 01, 2012 22:01

Ela veio de uma equação diferencial.
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor MarceloFantini » Qui Mar 01, 2012 22:16

Pode nos mostrar a equação diferencial?
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qui Mar 01, 2012 22:43

A equação é:

ylnx\frac{dy}{dx}=\left(\frac{y+1}{x}\right)^2

Essa equação diferencial leva àquela integral. No entanto, cometi um erro ao copiá-la do livro, pois a equação correta a ser resolvida é:

ylnx\frac{dx}{dy}=\left(\frac{y+1}{x}\right)^2

Essa é uma equação separável e resolvi sem problemas. Desculpe pelo erro. Mesmo assim, fiquei curioso a respeito daquela integral. Quando ela não pode ser escrita em funções elementares, não há nenhuma maneira de calculá-la? Se fosse uma integral definida, vinda de uma aplicação, seria possível fazer uma aproximação de seu resultado?
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor MarceloFantini » Sex Mar 02, 2012 18:41

Provavelmente, mas não seria fácil. O Wolfram colocava-a em função de integrais estranhas.
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor LuizAquino » Sáb Mar 03, 2012 00:46

Aliocha Karamazov escreveu:Quando ela não pode ser escrita em funções elementares, não há nenhuma maneira de calculá-la?


De forma analítica, não há.

Isso acontece com outras integrais.

Por exemplo, é o caso da seguinte integral:

\int e^{-x^2} \,dx

Essa integral não pode ser escrita por funções elementares.

Ela dá origem ao que definimos por Função erro.

Aliocha Karamazov escreveu:Se fosse uma integral definida, vinda de uma aplicação, seria possível fazer uma aproximação de seu resultado?


Sim, pode ser possível. Para isso usamos técnicas de Cálculo Numérico.
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Re: [Integral] indefinida

Mensagempor Aliocha Karamazov » Sáb Mar 03, 2012 21:59

Obrigado pelas informações.
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Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


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É só fazer a dica.


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Olá,

O resultado é igual a 1, certo?