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[Integral] Substituição

[Integral] Substituição

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qui Fev 23, 2012 23:57

Pessoal, minha dúvida não é nem como resolver a integral, mas sim saber por que o método de substituição funciona. Para isso, vou usar um exemplo bem simples.

Quando eu quero calcular a integral indefinida \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx

Uso a substituição, fazendo u=1+x^2 \Rightarrow \frac{du}{dx}=2x \Rightarrow du=2xdx

Aí vem:

\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}du=\sqrt{u}+c'=\sqrt{1+x^2}+c

Quanto a isso, sem problemas. Mas, se a derivada de u em relação a x pode ser escrita como \frac{du}{dx}=2x, é só uma questão de notação. Por que, ao "passar dx para o outro lado", a integral é calculada corretamente? Afinal, como \frac{du}{dx} é uma notação, em tese, eu não poderia fazer isso. Não estou duvidando que funciona (porque dá certo!), mas quero saber o porquê. Obrigado.
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Re: [Integral] Substituição

Mensagempor LuizAquino » Sex Fev 24, 2012 11:28

Aliocha Karamazov escreveu:Mas, se a derivada de u em relação a x pode ser escrita como \frac{du}{dx}=2x, é só uma questão de notação. Por que, ao "passar dx para o outro lado", a integral é calculada corretamente? Afinal, como \frac{du}{dx} é uma notação, em tese, eu não poderia fazer isso. Não estou duvidando que funciona (porque dá certo!), mas quero saber o porquê.


Como você mesmo disse, a notação \frac{du}{dx} (que é a notação de Leibniz) representa a derivada de u(x). Isto é, representa u'(x).

Usando a definição de derivada, sabemos que:

u^\prime(x) = \lim_{y \to x} \frac{u(y)-u(x)}{y-x}

Fazendo a comparação (bem informal) desse limite com a notação de Leibniz, é como se fosse "definido" que:

du = \lim_{y \to x} u(y)-u(x)

dx = \lim_{y \to x} y - x

Com essa "definição", temos que u^\prime(x) e \frac{du}{dx} representam o cálculo de um mesmo limite.

Voltando agora para a equação \frac{du}{dx}=2x , aplicando a definição de derivada é como se tivéssemos:

\lim_{y \to x} \frac{u(y) - u(x)}{y - x} = 2x

Ignorando por um momento o fato de que \lim_{y\to x} y - x = 0 , temos que:

\lim_{y \to x} u(y) - u(x) = 2x\lim_{y\to x} y - x

du = 2x\,dx

Fazendo uma abstração (bem informal), esse resultado poderia ser obtido diretamente "passando o dx para o outro lado" na equação original.

Essa é mais ou menos a ideia por trás dessa operação que fazemos.

Mas note que tudo que escrevi foi informal.
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Re: [Integral] Substituição

Mensagempor MarceloFantini » Sex Fev 24, 2012 12:07

A outra explicação, que ainda não sei detalhar, é entender dx como uma forma diferencial, dando um sentido então a isto.
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e^{\pi \cdot i} +1 = 0
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.