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[Integral] Substituição

[Integral] Substituição

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qui Fev 23, 2012 23:57

Pessoal, minha dúvida não é nem como resolver a integral, mas sim saber por que o método de substituição funciona. Para isso, vou usar um exemplo bem simples.

Quando eu quero calcular a integral indefinida \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx

Uso a substituição, fazendo u=1+x^2 \Rightarrow \frac{du}{dx}=2x \Rightarrow du=2xdx

Aí vem:

\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}du=\sqrt{u}+c'=\sqrt{1+x^2}+c

Quanto a isso, sem problemas. Mas, se a derivada de u em relação a x pode ser escrita como \frac{du}{dx}=2x, é só uma questão de notação. Por que, ao "passar dx para o outro lado", a integral é calculada corretamente? Afinal, como \frac{du}{dx} é uma notação, em tese, eu não poderia fazer isso. Não estou duvidando que funciona (porque dá certo!), mas quero saber o porquê. Obrigado.
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Re: [Integral] Substituição

Mensagempor LuizAquino » Sex Fev 24, 2012 11:28

Aliocha Karamazov escreveu:Mas, se a derivada de u em relação a x pode ser escrita como \frac{du}{dx}=2x, é só uma questão de notação. Por que, ao "passar dx para o outro lado", a integral é calculada corretamente? Afinal, como \frac{du}{dx} é uma notação, em tese, eu não poderia fazer isso. Não estou duvidando que funciona (porque dá certo!), mas quero saber o porquê.


Como você mesmo disse, a notação \frac{du}{dx} (que é a notação de Leibniz) representa a derivada de u(x). Isto é, representa u'(x).

Usando a definição de derivada, sabemos que:

u^\prime(x) = \lim_{y \to x} \frac{u(y)-u(x)}{y-x}

Fazendo a comparação (bem informal) desse limite com a notação de Leibniz, é como se fosse "definido" que:

du = \lim_{y \to x} u(y)-u(x)

dx = \lim_{y \to x} y - x

Com essa "definição", temos que u^\prime(x) e \frac{du}{dx} representam o cálculo de um mesmo limite.

Voltando agora para a equação \frac{du}{dx}=2x , aplicando a definição de derivada é como se tivéssemos:

\lim_{y \to x} \frac{u(y) - u(x)}{y - x} = 2x

Ignorando por um momento o fato de que \lim_{y\to x} y - x = 0 , temos que:

\lim_{y \to x} u(y) - u(x) = 2x\lim_{y\to x} y - x

du = 2x\,dx

Fazendo uma abstração (bem informal), esse resultado poderia ser obtido diretamente "passando o dx para o outro lado" na equação original.

Essa é mais ou menos a ideia por trás dessa operação que fazemos.

Mas note que tudo que escrevi foi informal.
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Re: [Integral] Substituição

Mensagempor MarceloFantini » Sex Fev 24, 2012 12:07

A outra explicação, que ainda não sei detalhar, é entender dx como uma forma diferencial, dando um sentido então a isto.
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?