[Integral] Substituição

por **Aliocha Karamazov** » Qui Fev 23, 2012 23:57

Pessoal, minha dúvida não é nem como resolver a integral, mas sim saber por que o método de substituição funciona. Para isso, vou usar um exemplo bem simples.

Quando eu quero calcular a integral indefinida $\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx$

Uso a substituição, fazendo $u=1+x^2 \Rightarrow \frac{du}{dx}=2x \Rightarrow du=2xdx$

Aí vem:

$\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}du=\sqrt{u}+c'=\sqrt{1+x^2}+c$

Quanto a isso, sem problemas. Mas, se a derivada de u em relação a x pode ser escrita como $\frac{du}{dx}=2x$ , é só uma questão de notação. Por que, ao "passar dx para o outro lado", a integral é calculada corretamente? Afinal, como $\frac{du}{dx}$ é uma notação, em tese, eu não poderia fazer isso. Não estou duvidando que funciona (porque dá certo!), mas quero saber o porquê. Obrigado.

por **LuizAquino** » Sex Fev 24, 2012 11:28

Aliocha Karamazov escreveu:Mas, se a derivada de u em relação a x pode ser escrita como $\frac{du}{dx}=2x$ , é só uma questão de notação. Por que, ao "passar dx para o outro lado", a integral é calculada corretamente? Afinal, como $\frac{du}{dx}$ é uma notação, em tese, eu não poderia fazer isso. Não estou duvidando que funciona (porque dá certo!), mas quero saber o porquê.

Como você mesmo disse, a notação $\frac{du}{dx}$ (que é a notação de Leibniz) representa a derivada de u(x). Isto é, representa u'(x).

Usando a definição de derivada, sabemos que:

$u^\prime(x) = \lim_{y \to x} \frac{u(y)-u(x)}{y-x}$

Fazendo a comparação (bem informal) desse limite com a notação de Leibniz, é como se fosse "definido" que:

$du = \lim_{y \to x} u(y)-u(x)$

$dx = \lim_{y \to x} y - x$

Com essa "definição", temos que $u^\prime(x)$ e $\frac{du}{dx}$ representam o cálculo de um mesmo limite.

Voltando agora para a equação $\frac{du}{dx}=2x$ , aplicando a definição de derivada é como se tivéssemos:

$\lim_{y \to x} \frac{u(y) - u(x)}{y - x} = 2x$

Ignorando por um momento o fato de que $\lim_{y\to x} y - x = 0$ , temos que:

$\lim_{y \to x} u(y) - u(x) = 2x\lim_{y\to x} y - x$

$du = 2x\,dx$

Fazendo uma abstração (bem informal), esse resultado poderia ser obtido diretamente "passando o dx para o outro lado" na equação original.

Essa é mais ou menos a ideia por trás dessa operação que fazemos.

Mas note que tudo que escrevi foi informal.