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[Integral] Substituição

[Integral] Substituição

Mensagempor Aliocha Karamazov » Qui Fev 23, 2012 23:57

Pessoal, minha dúvida não é nem como resolver a integral, mas sim saber por que o método de substituição funciona. Para isso, vou usar um exemplo bem simples.

Quando eu quero calcular a integral indefinida \int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx

Uso a substituição, fazendo u=1+x^2 \Rightarrow \frac{du}{dx}=2x \Rightarrow du=2xdx

Aí vem:

\int \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sqrt{u}}du=\sqrt{u}+c'=\sqrt{1+x^2}+c

Quanto a isso, sem problemas. Mas, se a derivada de u em relação a x pode ser escrita como \frac{du}{dx}=2x, é só uma questão de notação. Por que, ao "passar dx para o outro lado", a integral é calculada corretamente? Afinal, como \frac{du}{dx} é uma notação, em tese, eu não poderia fazer isso. Não estou duvidando que funciona (porque dá certo!), mas quero saber o porquê. Obrigado.
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Re: [Integral] Substituição

Mensagempor LuizAquino » Sex Fev 24, 2012 11:28

Aliocha Karamazov escreveu:Mas, se a derivada de u em relação a x pode ser escrita como \frac{du}{dx}=2x, é só uma questão de notação. Por que, ao "passar dx para o outro lado", a integral é calculada corretamente? Afinal, como \frac{du}{dx} é uma notação, em tese, eu não poderia fazer isso. Não estou duvidando que funciona (porque dá certo!), mas quero saber o porquê.


Como você mesmo disse, a notação \frac{du}{dx} (que é a notação de Leibniz) representa a derivada de u(x). Isto é, representa u'(x).

Usando a definição de derivada, sabemos que:

u^\prime(x) = \lim_{y \to x} \frac{u(y)-u(x)}{y-x}

Fazendo a comparação (bem informal) desse limite com a notação de Leibniz, é como se fosse "definido" que:

du = \lim_{y \to x} u(y)-u(x)

dx = \lim_{y \to x} y - x

Com essa "definição", temos que u^\prime(x) e \frac{du}{dx} representam o cálculo de um mesmo limite.

Voltando agora para a equação \frac{du}{dx}=2x , aplicando a definição de derivada é como se tivéssemos:

\lim_{y \to x} \frac{u(y) - u(x)}{y - x} = 2x

Ignorando por um momento o fato de que \lim_{y\to x} y - x = 0 , temos que:

\lim_{y \to x} u(y) - u(x) = 2x\lim_{y\to x} y - x

du = 2x\,dx

Fazendo uma abstração (bem informal), esse resultado poderia ser obtido diretamente "passando o dx para o outro lado" na equação original.

Essa é mais ou menos a ideia por trás dessa operação que fazemos.

Mas note que tudo que escrevi foi informal.
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Re: [Integral] Substituição

Mensagempor MarceloFantini » Sex Fev 24, 2012 12:07

A outra explicação, que ainda não sei detalhar, é entender dx como uma forma diferencial, dando um sentido então a isto.
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.