[equação de curva de nível]

por **Giu** » Qua Fev 08, 2012 23:34

BOM, o enunciado do exercício é: encontre a equação de 3 curvas de níveis da função dada e faça um esboço das curvas de níveis
correspondentes no plano xy

f(x, y)= (x^2 + y^2)/(x^2+y^2+1)

tenho prova e não consigo entender como faz, se puder dar algumas dicas, curva de nível não me entra na cabeça, help me, pq tenho uma rec semana q vem
foi jogado q nem uma bomba e não entendi nada

por **LuizAquino** » Qui Fev 09, 2012 10:45

Giu escreveu:encontre a equação de 3 curvas de níveis da função dada e faça um esboço das curvas de níveis
correspondentes no plano xy

$f(x, y)= \frac{x^2 + y^2}{x^2+y^2+1}$

Como ele apenas pediu para encontrar 3 curvas de nível, mas não especificou qual delas exatamente ele quer, então você pode escolher da forma que achar mais conveniente.

Como a curva de nível deve ser em relação ao plano xy, devemos igualar a coordenada z a uma constante. Isto é, precisamos fazer z=c, com c uma constante real.

Lembrando que z é correspondente ao valor da função f (isto é, z=f(x, y)), podemos reescrever a função dada como sendo:

$z = \frac{x^2 + y^2}{x^2+y^2+1}$

Fazendo z=c, com c uma constante real, temos que:

$c = \frac{x^2 + y^2}{x^2+y^2+1}$

$c\left(x^2+y^2+1\right) = x^2 + y^2$

(1-c)x^2 + (1-c)y^2 = c

$x^2 + y^2 = \frac{c}{1-c}$

Note que se 0 < c < 1, então $\frac{c}{1-c} > 0$ . Nesse caso, essa equação determina uma circunferência de centro (0, 0) e raio $\sqrt{\frac{c}{1-c}}$ .

Basta agora você escolher três valores para c no intervalo (0, 1) e esboçar a circunferência correspondente.

por **Giu** » Qua Fev 15, 2012 10:31

vamos ver se é assim que eu termino agora:

vou colocar 3 pontos para c:0,1 0,5 e 0,8

p/ c = 0,1 vai substituo em $\sqrt[]{c/1-c}$ que vai dar 0,333, aí eu coloco assim na fórmula para x=0 e calculo assim: x^2 + y^2 = 0,333

que vai dar y = $\sqrt[]{3}$ que é o ponto que eu vou traçar no gráfico. Depois eu faço a mesma coisa só que com y=0 dando, x= $\sqrt[]{3}$ .
Depois eu faço para os outros dois pontos. Será q é assim?

Obrigada, é q a minha prova é hj a tarde...affz

por **LuizAquino** » Qua Fev 15, 2012 18:59

Giu escreveu:vou colocar 3 pontos para c: 0,1 0,5 e 0,8

Ok.

Giu escreveu:p/ c = 0,1 vai substituo em $\sqrt{c/(1-c)}$ que vai dar 0,333,

Não use aproximações. Deixe o resultado no formato exato.

$\frac{0,1}{1-0,1} = \frac{0,1}{0,9} = \frac{1}{9}$ .

Giu escreveu:aí eu coloco assim na fórmula para x=0 e calculo assim: que vai dar y = $\sqrt{3}$

A equação correta é $x^2 + y^2 = \frac{1}{9}$ .

Para x = 0, teremos $y =\pm \frac{1}{3}$ .

Giu escreveu:Depois eu faço para os outros dois pontos. Será q é assim?

Não é só isso. Você precisa fazer o esboço das curvas.

Para c = 0,1, temos a circunferência $x^2 + y^2 = \frac{1}{9}$ .

Essa circunferência tem centro em (0, 0) e raio $\frac{1}{3}$ (se você não entendeu essa parte, então eu recomendo que você faça uma revisão de Geometria Analítica). Desse modo, o seu esboço seria algo como ilustra a figura abaixo.