Derivada

[plugpc]

Para construir uma caixa em forma de paralelepípedo reto será usada uma folha de chumbo em forma retangular 28cm de comprimento por 24cm de largura. Um quadrado de lado xcm, será cortado em cada canto da folha e a parte tracejada será dobrada formando uma caixa. Com base nesses dados pode-se afirmar que o valor de x para que se tenha a máxima área lateral da caixa, deve ser igual a
a) 4,5
b) 5,5
c) 6,5
d) 7,5
e) 8,5

Tentei resolver esse problema mas só consegui encontrar a fórmula do volume que essa explícita aqui.
v(x) = (28-2x)(24-2x)x
e ainda faltou como descobrir a área. Se existir uma maneira mais fácil de resolver esse tipo de problema gostaria de uma bem básica pois há vários outros que eu ainda não consigo resolver.

Profº já mandei esse problema pra vários outros amigos aqui na internet e ainda nenhum me respondeu se possível o responda por favor. Detalhadamente pois pretendo aprender esse tipo de problema o senhor me ajudará muito...

[admin]

Olá plugpc!

Este é um problema de otimização.

Mas, no primeiro passo, não pense em derivada.
Siga os passos da construção como deve ter feito para concluir sobre a expressão do volume.
Embora, não utilizaremos o volume: concentre-se na área.

Se você obteve a expressão do volume é porque já conseguiu identificar as medidas das arestas e montar a figura, isso é bom.
Note que o problema cita área lateral. Não confunda com área total da superfície.
Como você já possui as medidas das arestas, escreva a expressão da área lateral.
Repare que a área lateral também é uma função de .

Agora, para entender a resolução deste problema e outros semelhantes de otimização, pergunte-se:
Qual o "tipo" desta função? Qual a sua "família"? Consigo esboçar o gráfico dela?
É importante que você reflita sobre estas perguntas e encontre respostas!

Você deverá obter que a área lateral é representada por:




Pois bem: você verá que a função área lateral está representada por uma expressão de segundo grau, cujo gráfico é de uma parábola!

Também podemos escrevê-la assim:



Ou ainda:




O segundo passo é refazer a pergunta do problema, olhando para o gráfico!
Pergunte-se: quando esta área é máxima? Para qual valor de ?

A pergunta é bem pertinente, uma vez que a parábola é côncava para baixo e possui um valor máximo!


O terceiro passo é, somente agora, se preocupar com o conceito de derivada.
Pensar em derivada como o coeficiente angular da reta tangente à curva!
Acredite, você precisa "enxergar" as infinitas retas tangentes, "navegando", tangenciando a curva: a parábola!
Ao mesmo tempo em que pensa no coeficiente angular, o ângulo de inclinação de cada reta tangente!

Pois bem, pergunto:
Qual a inclinação da reta tangente no ponto máximo da parábola?
Resposta: ela é paralela ao eixo , portanto, inclinação zero.

Novamente, conceito de derivada: derivada é o coeficiente angular da reta tangente no ponto!

É daqui que concluímos então que: quando a derivada da função área lateral for nula, teremos o ponto máximo procurado.


Após entendidas estas etapas, o término do problema é simples.
Calculamos a derivada:



E apenas escrevemos a pergunta: quando a derivada é nula?

Qual o valor de quando ?










Espero ter ajudado no entendimento.
Bons estudos!