[função diferencial]

por **Jorge Dias** » Sáb Jan 07, 2012 01:08

$\mu=G\left(\frac{z}{x}-\frac{z}{y},\frac{y}{x}-\frac{y}{x} \right)$
mostre, que
$\chi\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z}=0$

penso que tenho que achar as derivadas parciais,ou seja será que devo de achar o meu A como
$\left(\frac{z}{x}-\frac{z}{y}\right)$ e o B, como $\left(\frac{y}{x}-\frac{y}{x}\right)$ e apartir dai obter $\frac{\partial a}{\partial x}$ mas não sei como fazer essa derivada e nem o que fazer com a icógnita que está antes da fracção

por **ant_dii** » Sáb Jan 07, 2012 02:29

Jorge Dias escreveu: $\mu=G\left(\frac{z}{x}-\frac{z}{y},\frac{y}{x}-\frac{y}{x} \right)$
mostre, que
$\chi\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z}=0$

penso que tenho que achar as derivadas parciais,ou seja será que devo de achar o meu A como
$\left(\frac{z}{x}-\frac{z}{y}\right)$ e o B, como $\left(\frac{y}{x}-\frac{y}{x}\right)$ e apartir dai obter $\frac{\partial a}{\partial x}$ mas não sei como fazer essa derivada e nem o que fazer com a icógnita que está antes da fracção

Se
$\frac{\partial u}{\partial x_i}=\frac{\partial \mu}{\partial x_i}$
então você terá que usar a regra da cadeia, pois $\mu$ está em função de x, y, z

por

... E se $\chi=x$ , então você terá que calcular cada derivada em função de uma incógnita de cada vez e depois multiplicar como esta pedindo acima e então procurar uma relação que de zero pra você mostrar o resultado desejado...
O que quero dizer é que do modo que esta escrito acima esta confuso... Quem são estes A, B e C que você fala e o

de $\frac{\partial a}{\partial x}$ , é da onde?
O que pede na fórmula é só que você faça as derivadas (regra da cadeia) em relação a cada variável e depois verifique o resultado quando você multiplica a derivada com a variável.

por **Jorge Dias** » Sáb Jan 07, 2012 10:36

No livro tenho um exemplo que refere assim, sejam A e B as váriáveis mudas associadas á função G, ou seja U= G(A;B)= G $\left(\frac{z}{x}-\frac{z}{y},\frac{y}{x}-\frac{y}{z} \right)$ e então pela regra da cadeia temos
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial G}{\partial A}\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial B}\frac{\partial B}{\partial x}$
e assim sucessivamente para as outras icógnitas y e z é isso o que se pretende? mas não consigo iniciar estas derivadas.

por **ant_dii** » Sáb Jan 07, 2012 13:02

Jorge Dias escreveu:No livro tenho um exemplo que refere assim, sejam A e B as váriáveis mudas associadas á função G, ou seja U= G(A;B)= G $\left(\frac{z}{x}-\frac{z}{y},\frac{y}{x}-\frac{y}{z} \right)$ e então pela regra da cadeia temos
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial G}{\partial A}\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial B}\frac{\partial B}{\partial x}$
e assim sucessivamente para as outras icógnitas y e z é isso o que se pretende? mas não consigo iniciar estas derivadas.

Seguindo o que está em seu livro, temos que
$A=A(x,y,z)=\frac{z}{x}-\frac{z}{y}$

$B=B(x,y,z)=\frac{y}{x}-\frac{y}{z}$

Então, mantenha $\frac{\partial G}{\partial A}=G_A$ e faça $\frac{\partial A}{\partial x}$ , $\frac{\partial A}{\partial y}$ e $\frac{\partial A}{\partial z}$ .

Mantenha $\frac{\partial G}{\partial B}=G_B$ e faça $\frac{\partial B}{\partial x}$ , $\frac{\partial B}{\partial y}$ e $\frac{\partial B}{\partial z}$ .

Por exemplo, $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial G}{\partial A}\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial B}\frac{\partial B}{\partial x}=G_A \left(\frac{-z}{x^2}\right)+G_B \left(\frac{-y}{x^2}\right)$

Em seguida, multiplique o resultado, como esta pedindo acima, por cada variável. Fazendo então uma manipulação algébrica você verá que o resultado será zero independente da derivada parcial de

.

por **Jorge Dias** » Sáb Jan 07, 2012 14:55

pode me explicar porque não está fácil de entender para mim como fez a conta $\left(\frac{-z}{{x}^{2}} \right) e \left(\frac{-y}{{x}^{2}} \right)$ ,não consigo chegar a esse valor

por **ant_dii** » Sáb Jan 07, 2012 15:19

Sim... me desculpe.

A derivada de $A=A(x,y,z)=\frac{z}{x}-\frac{z}{y}$ pode ser feita como segue, o mesmo valerá para as outras variáveis e para $B=B(x,y,z)=\frac{y}{x}-\frac{y}{z}$ :

$\frac{\partial A}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{z}{x}-\frac{z}{y}\right)=z\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{z}{y}\right) =z\frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} - 0=z(-1x^{-2})=z\left(\frac{-1}{x^2}\right)=\frac{-z}{x^2}$

Quando você deriva em relação a variável precedente as outras se tornam constantes, mas vale as mesmas regras para derivadas com uma variável...

Não sei se esclareceu, mas fique a vontade qualquer dúvida...

por **Jorge Dias** » Sáb Jan 07, 2012 15:35

muito obrigado pelo esclarecimento e sua disponibilidade.

por **Jorge Dias** » Sáb Jan 07, 2012 20:48

muito obrigada pela ajuda, mas realmente não chego lá e não consigo fazer as contas de derivadas, estou a tentar mas ao calcular oa variável z empacou e não vai lá, e enquanto eu não conseguir fazer as derivadas bem não vou conseguir fazer este tipo de exercicios, percebo o que se pretende e não sei fazer as contas.

por **ant_dii** » Seg Jan 09, 2012 02:12

ant_dii escreveu:Sim... me desculpe.

A derivada de $A=A(x,y,z)=\frac{z}{x}-\frac{z}{y}$ pode ser feita como segue, o mesmo valerá para as outras variáveis e para $B=B(x,y,z)=\frac{y}{x}-\frac{y}{z}$ :

$\frac{\partial A}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{z}{x}-\frac{z}{y}\right)=z\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{z}{y}\right) =z\frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} - 0=z(-1x^{-2})=z\left(\frac{-1}{x^2}\right)=\frac{-z}{x^2}$

Quando você deriva em relação a variável precedente as outras se tornam constantes, mas vale as mesmas regras para derivadas com uma variável...

Não sei se esclareceu, mas fique a vontade qualquer dúvida...

Vamos lá, que vou te ajudar então.
Para calcular a derivada de

em relação a

será usado o mesmo procedimento que foi em relação a

(como esta na citação acima), ou seja,

$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{z}{x}-\frac{z}{y}\right)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{z}{x}\right) - z\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{1}{y}\right) =0- z\frac{\partial (y^{-1})}{\partial y} =-z(-1y^{-2})=-z\left(\frac{-1}{y^2}\right)=\frac{z}{y^2}$

Para calcular

em relação a

, é feito o seguinte

$\frac{\partial A}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{z}{x}-\frac{z}{y}\right)=\frac{\frac{\partial z}{\partial z}}{x} - \frac{\frac{\partial z}{\partial z}}{y} = \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$

De outra forma, pode-se fazer o seguinte
$\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{z}{x}-\frac{z}{y}\right)=\frac{1}{x}\frac{\partial z}{\partial z} - \frac{1}{y}\frac{\partial z}{\partial z}=\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$

isso, pois como estamos derivando em relação a

, como já te disse, as outras variáveis se tornam constantes, então $\frac{1}{x}$ e $\frac{1}{y}$ também são constantes.

Em relação a

, você encontrará os seguintes resultados:

$\frac{\partial B}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{y}{x}-\frac{y}{z}\right)=y\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{1}{x}\right) - \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{y}{z}\right) =y\frac{\partial (x^{-1})}{\partial x} - 0=y(-1x^{-2})=y\left(\frac{-1}{x^2}\right)=\frac{-y}{x^2}$

$\frac{\partial B}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{y}{x}-\frac{y}{z}\right)=\frac{1}{x}\frac{\partial y}{\partial y} - \frac{1}{z}\frac{\partial y}{\partial x} =\frac{1}{x}-\frac{1}{z}$

$\frac{\partial B}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{y}{x}-\frac{y}{z}\right)=\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{y}{x}\right) -y\frac{\partial }{\partial z}\left(\frac{1}{z}\right)=0-y(-1z^{-2})= - y\left(\frac{-1}{z^2}\right)=\frac{y}{z^2}$

A partir daqui basta você fazer as derivadas de

em relação a cada variável usando os resultados já encontrados:

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial G}{\partial A}\frac{\partial A}{\partial x}+\frac{\partial G}{\partial B}\frac{\partial B}{\partial x}=G_A \left(\frac{-z}{x^2}\right)+G_B \left(\frac{-y}{x^2}\right)$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial G}{\partial A}\frac{\partial A}{\partial y}+\frac{\partial G}{\partial B}\frac{\partial B}{\partial y}=G_A \left(\frac{z}{y^2}\right)+G_B \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{z}\right)=G_A \left(\frac{z}{y^2}\right)+G_B \left(\frac{1}{x}\right)-G_B \left(\frac{1}{z}\right)$

$\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{\partial G}{\partial A}\frac{\partial A}{\partial z}+\frac{\partial G}{\partial B}\frac{\partial B}{\partial z}=G_A\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{y}\right)+G_B\left(\frac{y}{z^2}\right)=G_A\left(\frac{1}{x}\right) - G_A\left(\frac{1}{y}\right)+G_B\left(\frac{y}{z^2}\right)$

Agora entra a parte de manipulação. Quando você mexer certinho multiplicando pela variável precedente você obterá o resultado desejado...

Estamos ae qualquer coisa

por **Jorge Dias** » Seg Jan 09, 2012 10:17

Muito agredecido pela ajuda prestada já cheguei ao resultado, tambem quase que me fez o exercicio todo, sua ajuda foi preciosa, consegui entender, é conta que nunca mais acaba.

por **ant_dii** » Ter Jan 10, 2012 00:16

Que nada... Foi bom te ajudar...

Quanto as contas, aprendi uma coisa: Matemática é 95% trabalho e 5% inteligência. Então existe muito trabalho a se fazer e muita pratica também ajudará...

Qualquer dúvida disponha...