• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[calculo] volume por integral 2

[calculo] volume por integral 2

Mensagempor beel » Dom Nov 27, 2011 20:54

Considere a regiao delimitada pelo grafico da função F(x)=\sqrt[]{c^2 -x^2}, o eixo Ox e as retas x=-c e x=c, onde c maior que 0.O volume do solido obtido pela rotação em torno do eixo Ox é.
Eu fiz assim,
\int_{-c}^{c}\Pi(\sqrt[]{c^2 -x^2})^2 dx
ficou:
\Pi(\frac{c^3}{3} - \frac{x^3}{3}), aplicados de -c até c
fiquei muito em duvida em como fazer dai em diante
beel
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 172
Registrado em: Sex Ago 26, 2011 13:14
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Andamento: cursando

Re: [calculo] volume por integral 2

Mensagempor LuizAquino » Seg Nov 28, 2011 16:36

beel escreveu:Considere a regiao delimitada pelo grafico da função F(x)=[tex]\sqrt[]{c^2 -x^2}[/tex], o eixo Ox e as retas x=-c e x=c, onde c maior que 0.O volume do solido obtido pela rotação em torno do eixo Ox é.
Eu fiz assim,
\int_{-c}^{c}\Pi(\sqrt[]{c^2 -x^2})^2 dx
ficou:
\Pi(\frac{c^3}{3} - \frac{x^3}{3}), aplicados de -c até c
fiquei muito em duvida em como fazer dai em diante


Para conferir a sua resolução, siga os procedimentos abaixo.

  1. Acesse a página: http://www.wolframalpha.com/
  2. No campo de entrada, digite:
    Código: Selecionar todos
    integrate pi*(sqrt(c^2 - x^2))^2 dx
  3. Clique no botão de igual ao lado do campo de entrada.
  4. Após a integral ser calculada, clique no botão "Show steps" ao lado do resultado.
  5. Pronto! Agora basta estudar a resolução e comparar com a sua.
lcmaquino.org | youtube.com/LCMAquino | facebook.com/Canal.LCMAquino | @lcmaquino | +LCMAquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2651
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: [calculo] volume por integral 2

Mensagempor beel » Dom Dez 04, 2011 21:14

a integral é definida... o enunciado fala que a função é delimitada pelas retas x=c e x=-c...fiz uma substituição trigonometrica e cai nisso \Pi\int_{-c}^{c} c^2 - (c.sen\theta)^2c.cos\thetad\theta, mas nao to conseguindo achar uma primitiva...fuuui naquele site mas nao achei nenhuma resultado
beel
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 172
Registrado em: Sex Ago 26, 2011 13:14
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Andamento: cursando

Re: [calculo] volume por integral 2

Mensagempor LuizAquino » Seg Dez 05, 2011 11:02

beel escreveu:a integral é definida... o enunciado fala que a função é delimitada pelas retas x=c e x=-c...fiz uma substituição trigonometrica e cai nisso \Pi\int_{-c}^{c} c^2 - (c.sen\theta)^2c.cos\theta d\theta, mas nao to conseguindo achar uma primitiva...fuuui naquele site mas nao achei nenhuma resultado


Utilizando o procedimento indicado acima, você irá obter o passo a passo do cálculo da integral indefinida \int \pi\left(\sqrt{c^2 - x^2}\right)^2\,dx . Ou seja, você poderá verificar o passo a passo de como obter a primitiva de \pi\left(\sqrt{c^2 - x^2}\right)^2 .

Note que não é necessário utilizar substituição trigonométrica, pois para x\in [-c,\, c] temos que c^2 - x^2 \geq 0 , o que significa que podemos escrever:

\int \pi\left(\sqrt{c^2 - x^2}\right)^2\,dx = \int \pi\left(c^2 - x^2\right)\,dx

Eis a resposta final que será apresentada na página indicada no procedimento:

Indefinite integrals:

\int \pi\left(\sqrt{c^2 - x^2}\right)^2\,dx = \pi c^2 x - \frac{\pi x^3}{3} + \textrm{constant}


Agora tudo que você precisa fazer é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:

\int_{-c}^{c} \pi\left(\sqrt{c^2 - x^2}\right)^2 dx = \left[\pi c^2 x - \frac{\pi x^3}{3}\right]_{-c}^c

=\left[\pi c^2 \cdot c - \frac{\pi \cdot c^3}{3}\right] - \left[\pi c^2\cdot (-c) - \frac{\pi \cdot (-c)^3}{3}\right]

=\left[\pi c^3 - \frac{\pi c^3}{3}\right] - \left[-\pi c^3 + \frac{\pi c^3}{3}\right]

= \frac{4\pi c^3}{3}

Por fim, você pode conferir o seu resultado digitando no campo de entrada da página indicada:

Código: Selecionar todos
integrate pi*(sqrt(c^2 - x^2))^2 dx x=-c..c
lcmaquino.org | youtube.com/LCMAquino | facebook.com/Canal.LCMAquino | @lcmaquino | +LCMAquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2651
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 8 visitantes

 



Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.