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[calculo] volume por integral

[calculo] volume por integral

Mensagempor beel » Dom Nov 27, 2011 20:44

Qual o volume de um solido gerado pela rotação em torno do eixo Ox , sendo que sua função é f(x) = \frac{1}{1+x^2}, com x E [0,1].
Eu fiz assim:
\int_{0}^{1}\Pi(\frac{1}{1+x^2})^2 dx,
mas fiquei em duvida na substituiçao.Coloquei u=a.tg(theta)
mas ai x²=tg(theta)
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Re: [calculo] volume por integral

Mensagempor LuizAquino » Seg Nov 28, 2011 16:32

beel escreveu:Eu fiz assim:
\int_{0}^{1}\Pi(\frac{1}{1+x^2})^2 dx,
mas fiquei em duvida na substituiçao.Coloquei u=a.tg(theta)
mas ai x²=tg(theta)


Para conferir a resolução da integral, siga os procedimentos abaixo.

  1. Acesse a página: http://www.wolframalpha.com/
  2. No campo de entrada, digite:
    Código: Selecionar todos
    integrate pi(1/(1 + x^2))^2 dx
  3. Clique no botão de igual ao lado do campo de entrada.
  4. Após a integral ser calculada, clique no botão "Show steps" ao lado do resultado.
  5. Pronto! Agora basta estudar a resolução e comparar com a sua.
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Re: [calculo] volume por integral

Mensagempor beel » Seg Nov 28, 2011 16:37

Nao aparece a resolução, com substituiçao e etc nesse site...isso nao ajuda muito, mas obg de qualquer forma, de novo.
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Re: [calculo] volume por integral

Mensagempor LuizAquino » Seg Nov 28, 2011 17:04

beel escreveu:Nao aparece a resolução, com substituiçao e etc nesse site...isso nao ajuda muito, mas obg de qualquer forma, de novo.


"Não ajuda muito"?!

Vejamos como usar o procedimento. Através dele, podemos obter o texto abaixo.

Possible intermediate steps:

\int \frac{\pi}{(1+x^2)^2} dx

Factor out constants:

= \pi \int  \frac{1}{(1+x^2)^2} dx

For the integrand, 1/(x^2+1)^2 substitute x = tan(u) and dx = sec^2(u) du. Then (x^2+1)^2 = (tan^2(u)+1)^2 = sec^4(u) and u = tan^(-1)(x):

= \pi \int \cos^2(u) du

Write cos^2(u) as 1/2 cos(2 u)+1/2:

= \pi \int \left(\frac{1}{2} \cos(2 u)+\frac{1}{2}\right) du

Integrate the sum term by term and factor out constants:

= \pi \int \frac{1}{2} du + \frac{\pi}{2} \int \cos(2 u) du

For the integrand cos(2 u), substitute s = 2 u and ds = 2 du:

= \frac{\pi}{4} \int \cos(s) ds + \pi \int \frac{1}{2} du

The integral of cos(s) is sin(s):

= \frac{1}{4}\pi \sin(s)+ \pi \int \frac{1}{2} du

The integral of 1/2 is u/2:

= \frac{1}{4} \pi \sin(s) + \frac{\pi u}{2}+\textrm{constant}

Substitute back for s = 2 u:

= \frac{\pi u}{2} + \frac{1}{4}\pi \sin(2 u) + \textrm{constant}

Substitute back for u = tan^(-1)(x):

= \frac{\pi \left[\left(x^2+1\right) \tan^{-1}(x)+x\right]}{2 \left(x^2+1\right)}+\textrm{constant}

Which is equal to:

= \frac{1}{2} \pi \left(\frac{x}{x^2+1} + \tan^{-1}(x)\right)+\textrm{constant}


Agora tudo que você precisa fazer é aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:

\int_{0}^{1}\pi \left(\frac{1}{1+x^2}\right)^2 dx = \left[\frac{1}{2} \pi \left(\frac{x}{x^2+1} + \tan^{-1}(x)\right)\right]_0^1

= \left[\frac{1}{2} \pi \left(\frac{1}{1^2+1} + \tan^{-1}(1)\right)\right] - \left[\frac{1}{2} \pi \left(\frac{0}{0^2+1} + \tan^{-1}(0)\right)\right]

= \left[\frac{1}{2} \pi \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\right] - \left[\frac{1}{2} \pi \left(0 + 0\right)\right]

= \frac{1}{2} \pi \left(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right)

= \frac{\pi(2 + \pi)}{8}

Por fim, você pode conferir o seu resultado digitando no campo de entrada da página indicada:
Código: Selecionar todos
integrate pi(1/(1 + x^2))^2 dx x=0..1
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Re: [calculo] volume por integral

Mensagempor beel » Dom Dez 04, 2011 21:04

Mas na hora de determinar o "u" pra fazer a substituiçao trigonometrica, nao seria x²? foi isso que me confundiu, e foi essa minha duvida...na resolução ele coloca o x como u
beel
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Re: [calculo] volume por integral

Mensagempor LuizAquino » Seg Dez 05, 2011 10:30

beel escreveu:Mas na hora de determinar o "u" pra fazer a substituiçao trigonometrica, nao seria x²? foi isso que me confundiu, e foi essa minha duvida...na resolução ele coloca o x como u


Não. A substituição deve ser como foi indicado na resolução:

(...)
= \pi \int \frac{1}{(1+x^2)^2} dx

For the integrand, 1/(x^2+1)^2 substitute x = tan(u) and dx = sec^2(u) du.

= \pi \int \cos^2(u) du
(...)


Fazendo essa substituição, temos que:

\pi \int \frac{1}{\left(1 + x^2\right)^2} \, dx = \pi\int \frac{1}{\left(1 + \textrm{tg}^2\,u\right)^2}  \sec^2 u \, du = \pi\int \frac{1}{\left(\sec^2 u\right)^2}  \sec^2 u \, du = \pi\int \frac{1}{\sec^2 u} \, du = \pi\int \cos^2 u \, du
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Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 10:38

Olá ! Tenho essa dúvida e não consigo montar o problema para resolução:

Qual é o racional não nulo cujo o quadrado é igual à sua terça parte ?

Grata.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 12:27

x^2 = \frac{x}{3}


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 12:55

também pensei que fosse assim, mas a resposta é \frac{1}{3}.

Obrigada Fantini.


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: MarceloFantini - Sex Fev 18, 2011 13:01

x^2 = \frac{x}{3} \Rightarrow x^2 - \frac{x}{3} = 0 \Rightarrow x \left(x - \frac{1}{3} \right) = 0

Como x \neq 0:

x - \frac{1}{3} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3}

O que você fez?


Assunto: Conjunto dos números racionais.
Autor: scggomes - Sex Fev 18, 2011 16:17

eu só consegui fazer a igualdade, não consegui desenvolver o restante, não pensei em fatoração, mas agora entendi o que vc fez.

Obrigada.