[derivação e continuidade]

por **Ana_Rodrigues** » Sáb Nov 26, 2011 14:07

Olá gente, sei que toda função diferenciável é contínua, mas tem toda função contínua é diferenciável. Alguém poderia me explicar isso detalhadamente? Eu já procurei vídeos no youtube explicando, inclusive vídeos de autores que são moderadores deste fórum, e lá tinha o exemplo da função modular f(x)=|x|, que não era diferenciável, porém era contínua isto porque a função possuía um bico em x=0. Neste caso a função é contínua em x=0?por que?

Agradeço desde já, à quem me ajudar a entender!

por **MarceloFantini** » Sáb Nov 26, 2011 14:34

A função modular apenas não é diferenciável na origem, mas é em todos os outros pontos. Para um exemplo de função contínua em todos os pontos e diferenciável em nenhum, veja http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_function .

por **LuizAquino** » Sáb Nov 26, 2011 16:43

Ana_Rodrigues escreveu:Eu já procurei vídeos no youtube explicando, inclusive vídeos de autores que são moderadores deste fórum, e lá tinha o exemplo da função modular f(x)=|x|, que não era diferenciável, porém era contínua isto porque a função possuía um bico em x=0.

Você deve estar se referindo ao Exemplo 3 da vídeo-aula "10. Cálculo I - Função Derivada" disponível em meu canal no YouTube.

Vejamos o enunciado desse exemplo.

Exemplo 3: A função f(x)=|x| é diferenciável em 0?

Como foi explicado nessa mesma vídeo aula, uma função é diferenciável no ponto x=c se o limite abaixo existe e é finito:

$\lim_{x\to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}$

O exemplo em questão quer avaliar se a função é diferenciável em x=0. Ou seja, precisamos analisar se o limite abaixo existe e é finito:

$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$

Ora, mas esse limite é mesmo que:

$\lim_{x\to 0} \frac{|x|}{x}$

Aplicando a definição de módulo, obtemos que:

$\lim_{x\to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x\to 0^-} \frac{-x}{x} = \lim_{x\to 0^-} -1 = -1$

$\lim_{x\to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x\to 0^+} \frac{x}{x} = \lim_{x\to 0^+} 1 = 1$

Já que esses limites laterais são distintos, temos que não existe $\lim_{x\to 0} \frac{|x|}{x}$ .

Já que esse limite não existe, temos que a função não é diferenciável em x=0.

Vale destacar que essa função é diferenciável em qualquer outro ponto x=c, com c não nulo. Faça o teste!

Ana_Rodrigues escreveu:Neste caso a função é contínua em x=0?por que?

Sim.

Lembre-se que por definição, uma função f é contínua em x=c se ocorrer:

$\lim_{x\to c} f(x) = f(c)$

Sendo assim, para saber se a função é contínua em x=0 será necessário verificar se ocorre:

$\lim_{x\to 0} f(x) = f(0)$

Note que nesse caso isso ocorre:

$\begin{cases} \displaystyle{\lim_{x\to 0^-} |x| = \lim_{x\to 0^-} -x = 0} \\ \\ \displaystyle{\lim_{x\to 0^+} |x| = \lim_{x\to 0^+} x = 0} \end{cases} \Rightarrow \lim_{x\to 0} |x| = 0$

Por outro lado, f(0)=|0|=0. Sendo assim, temos que:

$\lim_{x\to 0} f(x) = f(0)$

Podemos então afirmar que f é contínua em x=0.

Vale destacar que essa função é contínua em qualquer outro ponto x=c, com c não nulo. Faça o teste!

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