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[DERIVADA] Reta tangente e Reta perpendicular

[DERIVADA] Reta tangente e Reta perpendicular

Mensagempor antonelli2006 » Ter Nov 22, 2011 11:21

Olá amigos,

Estou com a seguinte questão sem resposta:

Em que pontos a reta tangente à curva y^2=2x^3 é perpendicular à reta 4x-3y+1=0?

Fiz a derivada de y^2=2x^3, igualando y=\sqrt[]{2x^3}, e deu \frac{3x^2}{\sqrt[]{2x^3}}.
Já a derivada da segunda equação deu \frac{4}{3}.

Multiplicando uma pela outra e igualando à -1:

\frac{3x^2}{\sqrt[]{2x^3}}.\frac{4}{3}=-1
\frac{4x^2}{\sqrt[]{2x^3}}=-1

Consegui o seguinte resultado:

x=-\frac{1}{8}

Porém não consigo achar o valor de y que satisfaça as duas equações.

Alguem ajuda?
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Re: [DERIVADA] Reta tangente e Reta perpendicular

Mensagempor LuizAquino » Ter Nov 22, 2011 14:28

antonelli2006 escreveu:Em que pontos a reta tangente à curva y^2=2x^3 é perpendicular à reta 4x-3y+1=0?


Derivando implicitamente a curva dada, temos que:

\left(y^2\right)^\prime=\left(2x^3\right)^\prime

2yy^\prime=6x^2

y^\prime=\frac{3x^2}{y}

Sabemos então que \frac{3x^2}{y} é o coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto (x, y).

Já que 4/3 é o coeficiente angular da reta 4x-3y+1=0 , para que ela seja perpendicular a reta tangente a curva, deve ocorrer:

\frac{3x^2}{y}\cdot \frac{4}{3} = -1

y = -4x^2

Falta agora determinar os pontos (x, y) sobre a curva y^2=2x^3 tais que y = -4x^2. Isto é, basta resolver o sistema:

\begin{cases}
y^2 = 2x^3 \\
y = -4x^2
\end{cases}

Resolvendo esse sistema obtemos x = \frac{1}{8} e y = -\frac{1}{16} (aqui desconsideramos a solução x=0 e y=0).

Portanto, apenas no ponto \left(\frac{1}{8},\, -\frac{1}{16}\right) a reta tangente a curva y^2=2x^3 é perpendicular a reta 4x-3y+1=0 .

Observação

antonelli2006 escreveu:Fiz a derivada de y^2=2x^3, igualando y=\sqrt{2x^3}, e deu \frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}}.


Aqui você esqueceu que:

y^2=2x^3 \Rightarrow y=\pm \sqrt{2x^3}

Portanto, temos que:

y^\prime= \begin{cases}\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}},\,\textrm{se } y > 0 \\ -\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}},\,\textrm{se } y < 0 \end{cases}

Note que não há derivada em y=0. Fica mais fácil perceber isso fazendo uma ilustração do gráfico dessa curva.

Para continuar a resolução a partir daqui, você teria que analisar dois casos:

(i) \frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}}\cdot \frac{4}{3} = -1 ;

(ii) \left(-\frac{3x^2}{\sqrt{2x^3}}\right)\cdot \frac{4}{3} = -1 ;

Note que (i) não tem solução real, enquanto que (ii) tem solução x = 1/8 (e portanto y = -1/16).
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.