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Problemas de derivadas

Problemas de derivadas

Mensagempor paolaads » Seg Nov 07, 2011 21:34

Um arame de 4 metros de comprimento é cortado em dois pedaços, sendo um dobrado em
forma de quadrado e outro em forma de círculo (o arame será colocado como perímetro destas
figuras).
Tenho dificuldade de desenvolver o problema, tipo eu faço a área de cada um, mas como eu calculo a área de um círculo?
área:x.y
perímetro:2x.2y
o que vale 4 metros?
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor procyon » Seg Nov 07, 2011 21:59

O seu problema está estranho, o que é que ele pede mesmo ? Você está certa que digitou o problema corretamente?

Você tem um fio de comprimento L = 4
Divide esse fio em um pedaço qualquer, como representado abaixo:
|--------------|---------------------|

Um dos pedaços será x, o outro será L-x

A área do círculo é (pi)x(raio ao quadrado)
A área do quadrado é (lado ao quadrado) e não x.y. Você poderia chamar a área de x.y se fosse um trapézio, onde a base e altura tem tamanhos diferentes.

Até onde você escreveu eu faria o problema assim:
L = 4

Círculo = L-x = (pi)x(raio ao quadrado) ou seja;
Círculo = 4 - x = (pi)x(raio ao quadrado)

E a área do quadrado seria x ao quadrado.

Agora, não entendi o que o seu problema está pedindo!
procyon
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor paolaads » Ter Nov 08, 2011 00:51

O problema por completo seria este:

8- Um arame de 4 metros de comprimento é cortado em dois pedaços, sendo um dobrado em
forma de quadrado e outro em forma de círculo (o arame será colocado como perímetro destas
figuras). Como devemos cortar o arame para que as somas das áreas englobadas pelos dois
pedaços seja:

a) Máxima?
b) Mínima?
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor LuizAquino » Qua Nov 09, 2011 16:49

Um arame de 4 metros de comprimento é cortado em dois pedaços, sendo um dobrado em
forma de quadrado e outro em forma de círculo (o arame será colocado como perímetro destas
figuras)


Se um pedaço x for usado para formar o quadrado, então temos que um pedaço 4-x será usado para formar o círculo.

Como devemos cortar o arame para que as somas das áreas englobadas pelos dois
pedaços seja:
a) Máxima?
b) Mínima?


Sabemos que se L é o lado de um quadrado, então o seu perímetro vale 4L. Sendo assim, temos que:

4L = x \Rightarrow L = \frac{x}{4}

Por outro lado, sabemos que se R é o raio de uma circunferência, então o seu comprimento vale 2\pi R. Sendo assim, temos que:

2\pi R = 4 - x \Rightarrow R = \frac{4 - x}{2\pi}

A soma das áreas, dependendo do valor x, será dada por

S(x) = L^2 + \pi R^2 \Rightarrow S(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(4-x)^2}{4\pi}

Considere que o domínio de S seja D = [0, 4]. Nesse caso, x = 0 significa que fizemos apenas um círculo com o arame. Por outro lado, x = 4 significa que fizemos apenas um quadrado com o arame. Em ambos os casos, nós "dividimos" o arame em dois pedaços: um pedaço com comprimento 0; um pedaço com comprimento 4.

Agora, para achar o máximo ou o mínimo de f, utilize o Método do Intervalo Fechado:
  1. determine os pontos críticos de f. Isto é, os pontos x = c tais que f^\prime(c) = 0 ou f^\prime(c) não existe;
  2. calcule o valor de f nos seus pontos críticos. Isto é, calcule f(c);
  3. calcule o valor de f em 0 e em 4; Isto é, calcule f(0) e f(4);
  4. o menor dos valores calculados nos passos 2 e 3 será o mínimo global. Já o maior dos valores será o máximo global.
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor paolaads » Qui Nov 24, 2011 14:31

a derivada da expressão seria:
S(x)x/8+(8-x)?
A partir disso, eu testo os pontos críticos? Seria isso mesmo?
Dai os os pontos críticos seriam 8 e -8 ou estou enganada.
Muito obrigada.
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor LuizAquino » Sex Nov 25, 2011 09:33

paolaads escreveu:a derivada da expressão seria:
S(x)x/8+(8-x)?


Não. A reposta correta é:

S^\prime(x) = \frac{x}{8} + \frac{x-4}{2\pi}

paolaads escreveu:A partir disso, eu testo os pontos críticos? Seria isso mesmo?
Dai os os pontos críticos seriam 8 e -8 ou estou enganada.


Resolvendo a equação S^\prime(x) = 0 , você irá obter que só há um ponto crítico: x = \frac{16}{\pi + 4} .

Agora tente terminar o exercício.
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor paolaads » Seg Nov 28, 2011 00:55

a)O quadrado não existe, todo o arame forma 1,27m²
b)1m² p/ x=0,56
Um lado é 4l/4+pi
e o outro lpi/4+pi
um círculo só com 1/2pi


a derivada segunda da quanto? só mais isso e eu paro de incomodar...
Muito obrigada pela enorme e grandiosa atenção, você é um grande professor!
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor LuizAquino » Sáb Dez 03, 2011 14:37

paolaads escreveu:a)O quadrado não existe, todo o arame forma 1,27m²
b)1m² p/ x=0,56
Um lado é 4l/4+pi
e o outro lpi/4+pi
um círculo só com 1/2pi


Temos que:

S(0) = \frac{0^2}{16} + \frac{(4-0)^2}{4\pi} = \frac{4}{\pi} \approx 1,27

S(4) = \frac{4^2}{16} + \frac{(4-4)^2}{4\pi} = 1

S\left(\frac{16}{\pi+4}\right) = \frac{\left(\frac{16}{\pi+4}\right)^2}{16} + \frac{\left[4-\left(\frac{16}{\pi+4}\right)\right]^2}{4\pi} = \frac{4}{4+\pi}\approx 0,56

Portanto, a área máxima ocorre quando x = 0. Isso significa que temos apenas um círculo de raio R=\frac{2}{\pi} .

Por outro lado, a área mínima ocorre quando x=\frac{16}{\pi+4}. Isso significa que temos um quadrado de lado L = \frac{4}{\pi+4} e um círculo de raio R=\frac{2}{\pi+4} .

paolaads escreveu:a derivada segunda da quanto? só mais isso e eu paro de incomodar...

Tente calcular e envie o resultado que você obteve.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}