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Problemas de derivadas

Problemas de derivadas

Mensagempor paolaads » Seg Nov 07, 2011 21:34

Um arame de 4 metros de comprimento é cortado em dois pedaços, sendo um dobrado em
forma de quadrado e outro em forma de círculo (o arame será colocado como perímetro destas
figuras).
Tenho dificuldade de desenvolver o problema, tipo eu faço a área de cada um, mas como eu calculo a área de um círculo?
área:x.y
perímetro:2x.2y
o que vale 4 metros?
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor procyon » Seg Nov 07, 2011 21:59

O seu problema está estranho, o que é que ele pede mesmo ? Você está certa que digitou o problema corretamente?

Você tem um fio de comprimento L = 4
Divide esse fio em um pedaço qualquer, como representado abaixo:
|--------------|---------------------|

Um dos pedaços será x, o outro será L-x

A área do círculo é (pi)x(raio ao quadrado)
A área do quadrado é (lado ao quadrado) e não x.y. Você poderia chamar a área de x.y se fosse um trapézio, onde a base e altura tem tamanhos diferentes.

Até onde você escreveu eu faria o problema assim:
L = 4

Círculo = L-x = (pi)x(raio ao quadrado) ou seja;
Círculo = 4 - x = (pi)x(raio ao quadrado)

E a área do quadrado seria x ao quadrado.

Agora, não entendi o que o seu problema está pedindo!
procyon
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor paolaads » Ter Nov 08, 2011 00:51

O problema por completo seria este:

8- Um arame de 4 metros de comprimento é cortado em dois pedaços, sendo um dobrado em
forma de quadrado e outro em forma de círculo (o arame será colocado como perímetro destas
figuras). Como devemos cortar o arame para que as somas das áreas englobadas pelos dois
pedaços seja:

a) Máxima?
b) Mínima?
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor LuizAquino » Qua Nov 09, 2011 16:49

Um arame de 4 metros de comprimento é cortado em dois pedaços, sendo um dobrado em
forma de quadrado e outro em forma de círculo (o arame será colocado como perímetro destas
figuras)


Se um pedaço x for usado para formar o quadrado, então temos que um pedaço 4-x será usado para formar o círculo.

Como devemos cortar o arame para que as somas das áreas englobadas pelos dois
pedaços seja:
a) Máxima?
b) Mínima?


Sabemos que se L é o lado de um quadrado, então o seu perímetro vale 4L. Sendo assim, temos que:

4L = x \Rightarrow L = \frac{x}{4}

Por outro lado, sabemos que se R é o raio de uma circunferência, então o seu comprimento vale 2\pi R. Sendo assim, temos que:

2\pi R = 4 - x \Rightarrow R = \frac{4 - x}{2\pi}

A soma das áreas, dependendo do valor x, será dada por

S(x) = L^2 + \pi R^2 \Rightarrow S(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(4-x)^2}{4\pi}

Considere que o domínio de S seja D = [0, 4]. Nesse caso, x = 0 significa que fizemos apenas um círculo com o arame. Por outro lado, x = 4 significa que fizemos apenas um quadrado com o arame. Em ambos os casos, nós "dividimos" o arame em dois pedaços: um pedaço com comprimento 0; um pedaço com comprimento 4.

Agora, para achar o máximo ou o mínimo de f, utilize o Método do Intervalo Fechado:
  1. determine os pontos críticos de f. Isto é, os pontos x = c tais que f^\prime(c) = 0 ou f^\prime(c) não existe;
  2. calcule o valor de f nos seus pontos críticos. Isto é, calcule f(c);
  3. calcule o valor de f em 0 e em 4; Isto é, calcule f(0) e f(4);
  4. o menor dos valores calculados nos passos 2 e 3 será o mínimo global. Já o maior dos valores será o máximo global.
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor paolaads » Qui Nov 24, 2011 14:31

a derivada da expressão seria:
S(x)x/8+(8-x)?
A partir disso, eu testo os pontos críticos? Seria isso mesmo?
Dai os os pontos críticos seriam 8 e -8 ou estou enganada.
Muito obrigada.
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor LuizAquino » Sex Nov 25, 2011 09:33

paolaads escreveu:a derivada da expressão seria:
S(x)x/8+(8-x)?


Não. A reposta correta é:

S^\prime(x) = \frac{x}{8} + \frac{x-4}{2\pi}

paolaads escreveu:A partir disso, eu testo os pontos críticos? Seria isso mesmo?
Dai os os pontos críticos seriam 8 e -8 ou estou enganada.


Resolvendo a equação S^\prime(x) = 0 , você irá obter que só há um ponto crítico: x = \frac{16}{\pi + 4} .

Agora tente terminar o exercício.
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor paolaads » Seg Nov 28, 2011 00:55

a)O quadrado não existe, todo o arame forma 1,27m²
b)1m² p/ x=0,56
Um lado é 4l/4+pi
e o outro lpi/4+pi
um círculo só com 1/2pi


a derivada segunda da quanto? só mais isso e eu paro de incomodar...
Muito obrigada pela enorme e grandiosa atenção, você é um grande professor!
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Re: Problemas de derivadas

Mensagempor LuizAquino » Sáb Dez 03, 2011 14:37

paolaads escreveu:a)O quadrado não existe, todo o arame forma 1,27m²
b)1m² p/ x=0,56
Um lado é 4l/4+pi
e o outro lpi/4+pi
um círculo só com 1/2pi


Temos que:

S(0) = \frac{0^2}{16} + \frac{(4-0)^2}{4\pi} = \frac{4}{\pi} \approx 1,27

S(4) = \frac{4^2}{16} + \frac{(4-4)^2}{4\pi} = 1

S\left(\frac{16}{\pi+4}\right) = \frac{\left(\frac{16}{\pi+4}\right)^2}{16} + \frac{\left[4-\left(\frac{16}{\pi+4}\right)\right]^2}{4\pi} = \frac{4}{4+\pi}\approx 0,56

Portanto, a área máxima ocorre quando x = 0. Isso significa que temos apenas um círculo de raio R=\frac{2}{\pi} .

Por outro lado, a área mínima ocorre quando x=\frac{16}{\pi+4}. Isso significa que temos um quadrado de lado L = \frac{4}{\pi+4} e um círculo de raio R=\frac{2}{\pi+4} .

paolaads escreveu:a derivada segunda da quanto? só mais isso e eu paro de incomodar...

Tente calcular e envie o resultado que você obteve.
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D