esboço de grafico da funçao

por **lilianmatos** » Qua Nov 02, 2011 21:27

Preciso concluir os 8 passos para esboçar o grafico da funçao: (x^2-1)^3
parei no sexto passo que é determinar a concavidade e os pontos de inflexão, com a derivada 2ª encontrei os seguintes resultados:
x>1 concava para cima e X<-1 concava para baixo. Nao sei se esta certo e o que posso concluir com isso, não tenho ponto de inflexao?

por **joaofonseca** » Qui Nov 03, 2011 20:38

Mas quais foram os 6 passos?!?! *-)

Comecemos pelo principio:

A função f(x)=(x^2-1)^3

tem dois zeros de multiplicidade 3. São eles -1 e 1.

A derivada de f é f'(x)=6x(x^4-2x^2+1)

.Quais são os zeros?

6x(x^4-2x^2+1)=0

$6x=0 \vee x^4-2x^2+1=0$ .

Utilizemos um artificio, y=x^2.Fica:

$6x=0 \vee y^2-2y+1=0$

$6x=0 \vee (y-1)^2=0$

$6x=0 \vee y=1$

Voltando a trás com o artificio:

$6x=0 \vee x^2=1$

$x=0 \vee x=1 \vee x=-1$

Estes são os zeros da derivada!

A 2º derivada é 30x^4-36x^2+6

Quais os zeros?
Outra vez um artificio.

30y^2-36y+6=0

Dividimos tudo por 6.

5y^2-6y+1=0

$y=\frac{1}{5} \vee y=1$

Voltamos com o artificio a trás:

$x^2=\frac{1}{5} \vee x^2=1$

$x=\sqrt{\frac{1}{5}} \vee x=-{\sqrt\frac{1}{5}} \vee x=-1 \vee x=1$

Agora basta estudar o sinal da 2ª derivada.Eu escolhi a máquina grafica:

: 2_Derivada.jpg (12.11 KiB) Exibido 1849 vezes

Como se pode observar, seja analiticamente, seja graficamente, os pontos de inflexão da função f verificam-se nos zeros da 2ª derivada.Pois é aqui que o gráfico da 2ª derivada muda de sinal!

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Re: esboço de grafico da funçao

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