[Derivada] Reta tangente, derivação implícita

por **Aliocha Karamazov** » Ter Nov 01, 2011 16:43

Eu não tenho o gabarito dessa questão. Alguns amigos fizeram, mas a resposta deu diferente da minha. Vou mostrar parte de minha resolução e minha resposta. Gostaria que alguém apontasse um erro, se houver; ou dissesse que está certo, se estiver...

Considerando que a expressão 2(x^2+y^2)^2=25(x^2-y^2)

define y implicitamente como função de x para x próximo de 3, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto (3,1)

Eu derivei os dois lados da equação, atentando ao fato de que y é uma função implícita de x. Isolando $y\prime$ , obtive:

$y\prime=\frac{50x-8x^3-8xy^2}{8x^2y+8y^3+50y}=-\frac{90}{130} \Rightarrow y\prime=-\frac{9}{13}$

A equação da reta é dada por:

$y-y_{0}=y\prime(x-x_{0}) \Rightarrow y-1=-\frac{9}{13}(x-3) \Rightarrow y=-\frac{9}{13}x +\frac{40}{13}$

Agradeço a quem puder ajudar.

por **LuizAquino** » Qua Nov 02, 2011 20:26

Aliocha Karamazov escreveu:Considerando que a expressão define y implicitamente como função de x para x próximo de 3, encontre a equação da reta tangente à curva no ponto (3,1)

Eu derivei os dois lados da equação, atentando ao fato de que y é uma função implícita de x. Isolando $y\prime$ , obtive:

$y\prime=\frac{50x-8x^3-8xy^2}{8x^2y+8y^3+50y}=-\frac{90}{130} \Rightarrow y\prime=-\frac{9}{13}$

Ok.

Apenas organizando:

$y^\prime=\frac{50x-8x^3-8xy^2}{8x^2y+8y^3+50y} \Rightarrow y^\prime=\frac{50\cdot 3-8\cdot 3^3-8\cdot 3 \cdot 1^2}{8\cdot 3^2\cdot 1+8\cdot 1^3+50\cdot 1} \Rightarrow y^\prime=-\frac{9}{13}$

Aliocha Karamazov escreveu:A equação da reta é dada por:

$y-y_{0}=y^\prime(x-x_{0}) \Rightarrow y-1=-\frac{9}{13}(x-3) \Rightarrow y=-\frac{9}{13}x +\frac{40}{13}$