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Integral definida[Resolvida]

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Mensagempor procyon » Ter Nov 01, 2011 00:34

Olá pessoal, sou novo aqui, já tive uma participação resolvendo uma dúvida de ou outro colega, agora é a minha vez de pedir uma ajuda. É o seguinte, tenho :

\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt[2][4 -3x^{4}]} dx

Não consigo chegar em uma substituição apropriada do tipo u=função que facilite o meu trabalho na integração
Já tentei usar como variável auxiliar u o denominador completo (raíz inclusa) , com o denominador sem a raíz, ou apenas o u =x^{2} \:  \text{transformando a forma} \:  3x^{4} \: \text{em}  \; 3 u^{2}

Nenhuma dessas idéias resolveu o meu problema.
Grato.
Editado pela última vez por procyon em Ter Nov 01, 2011 21:47, em um total de 1 vez.
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Re: Integral definida

Mensagempor LuizAquino » Ter Nov 01, 2011 12:21

procyon escreveu:Olá pessoal, sou novo aqui, já tive uma participação resolvendo uma dúvida de ou outro colega, agora é a minha vez de pedir uma ajuda.

Seja bem-vindo ao fórum.

procyon escreveu:\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 -3x^{4}}}\,dx

Não consigo chegar em uma substituição apropriada do tipo u=função que facilite o meu trabalho na integração


Use a substituição trigonométrica 2\,\textrm{sen}\,u = \sqrt{3}x^2 e 2\cos u \, du = 2\sqrt{3} x \, dx .

Com essa substituição, quando x = 0, note que u = 0. Já quando x = 1, note que u = \frac{\pi}{3} .

Dessa forma, temos que:

\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 -3x^{4}}}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\frac{\cos u}{\sqrt{3}}}{2\cos u}\,du = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2\sqrt{3}}\,du

Agora termine o exercício.

Observação
Se você desejar revisar a técnica de substituição trigonométrica, então eu recomendo que você assista a vídeo-aula "37. Cálculo I - Integração por Substituição Trigonométrica". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino
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Re: Integral definida

Mensagempor procyon » Ter Nov 01, 2011 21:46

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Re: Integral definida

Mensagempor LuizAquino » Ter Nov 01, 2011 22:25

procyon escreveu:Encontrei a resposta, desenvolvi o cálculo a partir das seguintes substituicoes:

\int_{0}^{1} \frac{x.dx}{\sqrt[2]{4 -3x^{4}}}

\int_{0}^{1} \frac{x.dx}{\sqrt[2]{a^{2} - u^{2}}}

\nu = \sqrt[2]{3}.x^{2} \:\:\: \text{d}\nu=2x\sqrt[2]{3} \text{dx} , a = 2 e ficamos com uma primitiva (1/a)\textrm{arcsen}\,(u/a)

Resposta: \frac{\pi}{6\sqrt{3}}


Este é um outro caminho igualmente válido. Mas vale lembrar que a primitiva correta é:

\int {\frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} \, du = \textrm{arcsen}\,{\frac{u}{a}} + c

Obviamente, seguindo o caminho que indiquei acima também obtemos a resposta:

\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 -3x^{4}}}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2\sqrt{3}}\,du = \left[\frac{u}{2\sqrt{3}}\right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{6\sqrt{3}}
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Assunto: [calculo] derivada
Autor: beel - Seg Out 24, 2011 16:59

Para derivar a função

(16-2x)(21-x).x

como é melhor fazer?
derivar primeiro sei la, ((16-2x)(21-x))' achar o resultado (y)
e depois achar (y.x)' ?


Assunto: [calculo] derivada
Autor: MarceloFantini - Seg Out 24, 2011 17:15

Você poderia fazer a distributiva e derivar como um polinômio comum.


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Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:26

Funciona da mesma forma que derivada de x.y.z, ou seja, x'.y.z+x.y'.z+x.y.z' substitui cada expressão pelas variáveis e x',y' e z' é derivada de cada um


Assunto: [calculo] derivada
Autor: wellersonobelix - Dom Mai 31, 2015 17:31

derivada de (16-2x)=-2
derivada de (21-x)=-1
derivada de x=1
derivada de (16-2x)(21-x)x=-2.(21-x)x+(-1).(16-2x)x +1.(16-2x)(21-x)