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Integral definida[Resolvida]

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Mensagempor procyon » Ter Nov 01, 2011 00:34

Olá pessoal, sou novo aqui, já tive uma participação resolvendo uma dúvida de ou outro colega, agora é a minha vez de pedir uma ajuda. É o seguinte, tenho :

\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt[2][4 -3x^{4}]} dx

Não consigo chegar em uma substituição apropriada do tipo u=função que facilite o meu trabalho na integração
Já tentei usar como variável auxiliar u o denominador completo (raíz inclusa) , com o denominador sem a raíz, ou apenas o u =x^{2} \:  \text{transformando a forma} \:  3x^{4} \: \text{em}  \; 3 u^{2}

Nenhuma dessas idéias resolveu o meu problema.
Grato.
Editado pela última vez por procyon em Ter Nov 01, 2011 21:47, em um total de 1 vez.
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Re: Integral definida

Mensagempor LuizAquino » Ter Nov 01, 2011 12:21

procyon escreveu:Olá pessoal, sou novo aqui, já tive uma participação resolvendo uma dúvida de ou outro colega, agora é a minha vez de pedir uma ajuda.

Seja bem-vindo ao fórum.

procyon escreveu:\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 -3x^{4}}}\,dx

Não consigo chegar em uma substituição apropriada do tipo u=função que facilite o meu trabalho na integração


Use a substituição trigonométrica 2\,\textrm{sen}\,u = \sqrt{3}x^2 e 2\cos u \, du = 2\sqrt{3} x \, dx .

Com essa substituição, quando x = 0, note que u = 0. Já quando x = 1, note que u = \frac{\pi}{3} .

Dessa forma, temos que:

\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 -3x^{4}}}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{\frac{\cos u}{\sqrt{3}}}{2\cos u}\,du = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2\sqrt{3}}\,du

Agora termine o exercício.

Observação
Se você desejar revisar a técnica de substituição trigonométrica, então eu recomendo que você assista a vídeo-aula "37. Cálculo I - Integração por Substituição Trigonométrica". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino
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Re: Integral definida

Mensagempor procyon » Ter Nov 01, 2011 21:46

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Re: Integral definida

Mensagempor LuizAquino » Ter Nov 01, 2011 22:25

procyon escreveu:Encontrei a resposta, desenvolvi o cálculo a partir das seguintes substituicoes:

\int_{0}^{1} \frac{x.dx}{\sqrt[2]{4 -3x^{4}}}

\int_{0}^{1} \frac{x.dx}{\sqrt[2]{a^{2} - u^{2}}}

\nu = \sqrt[2]{3}.x^{2} \:\:\: \text{d}\nu=2x\sqrt[2]{3} \text{dx} , a = 2 e ficamos com uma primitiva (1/a)\textrm{arcsen}\,(u/a)

Resposta: \frac{\pi}{6\sqrt{3}}


Este é um outro caminho igualmente válido. Mas vale lembrar que a primitiva correta é:

\int {\frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} \, du = \textrm{arcsen}\,{\frac{u}{a}} + c

Obviamente, seguindo o caminho que indiquei acima também obtemos a resposta:

\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{4 -3x^{4}}}\,dx = \int_0^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{2\sqrt{3}}\,du = \left[\frac{u}{2\sqrt{3}}\right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{6\sqrt{3}}
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}