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Taxa de Variação

Taxa de Variação

Mensagempor Pollyanna Moraes » Sáb Out 22, 2011 17:37

Oiie, essa questão é do Leithold terceira edição, como ele só tem as respostas das questoes impares e a questao que segue abaixo é uma questao par não tenho como saber se está correto. Por favor, se conseguirem resolver, agradeço :D A minha resposta pra letra A dá 1 m/s, já a letra B não tenho ideia de como faze-la. Fiz a letra A por semelhança de triangulos, está certo?

*Uma lâmpada está pendurada a 4,5 m de um piso horizontal. Se um homem com 1,80 m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5 m/s, (A) qual a velocidade de crescimento da sombra? e (B) com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?
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Re: Taxa de Variação

Mensagempor LuizAquino » Dom Out 23, 2011 10:15

Uma lâmpada está pendurada a 4,5 m de um piso horizontal. Se um homem com 1,80 m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5 m/s, (A) qual a velocidade de crescimento da sombra? e (B) com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?


A figura abaixo ilustra o exercício.

exercício-taxa-de-variação.png
exercício-taxa-de-variação.png (4.94 KiB) Exibido 7253 vezes


Por semelhança de triângulos, temos que:

\frac{s}{x+s} = \frac{1,8}{4,5} \Rightarrow s= \frac{2}{3}x

A sombra s está em função da distância x, que por sua vez está em função do tempo. Sendo assim, aplicando a Regra da Cadeia:

\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{dx}\frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{ds}{dt} = \frac{2}{3} \cdot 1,5 \Rightarrow \frac{ds}{dt} = 1

Ou seja, a velocidade de crescimento da sombra é 1 m/s.

Voltando a figura que ilustra o exercício, p representa a distância percorrida pela "ponta da sombra". Podemos então escrever que:

p = x + s \Rightarrow p = \frac{5}{3}x .

O valor de p está em função de x, que por sua vez está em função do tempo. Sendo assim, aplicando a Regra da Cadeia:

\frac{dp}{dt} = \frac{dp}{dx}\frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{dp}{dt} = \frac{5}{3} \cdot 1,5 \Rightarrow \frac{dp}{dt} = \frac{5}{2}

Ou seja, a velocidade com que a ponta da sombra do homem está se movendo é \frac{5}{2} m/s.
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.