Taxa de Variação

por **Pollyanna Moraes** » Sáb Out 22, 2011 17:37

Oiie, essa questão é do Leithold terceira edição, como ele só tem as respostas das questoes impares e a questao que segue abaixo é uma questao par não tenho como saber se está correto. Por favor, se conseguirem resolver, agradeço

A minha resposta pra letra A dá 1 m/s, já a letra B não tenho ideia de como faze-la. Fiz a letra A por semelhança de triangulos, está certo?

*Uma lâmpada está pendurada a 4,5 m de um piso horizontal. Se um homem com 1,80 m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5 m/s, (A) qual a velocidade de crescimento da sombra? e (B) com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?

por **LuizAquino** » Dom Out 23, 2011 10:15

Uma lâmpada está pendurada a 4,5 m de um piso horizontal. Se um homem com 1,80 m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5 m/s, (A) qual a velocidade de crescimento da sombra? e (B) com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?

A figura abaixo ilustra o exercício.

: exercício-taxa-de-variação.png (4.94 KiB) Exibido 7269 vezes

Por semelhança de triângulos, temos que:

$\frac{s}{x+s} = \frac{1,8}{4,5} \Rightarrow s= \frac{2}{3}x$

A sombra s está em função da distância x, que por sua vez está em função do tempo. Sendo assim, aplicando a Regra da Cadeia:

$\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{dx}\frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{ds}{dt} = \frac{2}{3} \cdot 1,5 \Rightarrow \frac{ds}{dt} = 1$

Ou seja, a velocidade de crescimento da sombra é 1 m/s.

Voltando a figura que ilustra o exercício, p representa a distância percorrida pela "ponta da sombra". Podemos então escrever que:

$p = x + s \Rightarrow p = \frac{5}{3}x$ .

O valor de p está em função de x, que por sua vez está em função do tempo. Sendo assim, aplicando a Regra da Cadeia:

$\frac{dp}{dt} = \frac{dp}{dx}\frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{dp}{dt} = \frac{5}{3} \cdot 1,5 \Rightarrow \frac{dp}{dt} = \frac{5}{2}$

Ou seja, a velocidade com que a ponta da sombra do homem está se movendo é $\frac{5}{2}$ m/s.

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