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Taxa de Variação

Taxa de Variação

Mensagempor Pollyanna Moraes » Sáb Out 22, 2011 17:37

Oiie, essa questão é do Leithold terceira edição, como ele só tem as respostas das questoes impares e a questao que segue abaixo é uma questao par não tenho como saber se está correto. Por favor, se conseguirem resolver, agradeço :D A minha resposta pra letra A dá 1 m/s, já a letra B não tenho ideia de como faze-la. Fiz a letra A por semelhança de triangulos, está certo?

*Uma lâmpada está pendurada a 4,5 m de um piso horizontal. Se um homem com 1,80 m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5 m/s, (A) qual a velocidade de crescimento da sombra? e (B) com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?
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Re: Taxa de Variação

Mensagempor LuizAquino » Dom Out 23, 2011 10:15

Uma lâmpada está pendurada a 4,5 m de um piso horizontal. Se um homem com 1,80 m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade de 1,5 m/s, (A) qual a velocidade de crescimento da sombra? e (B) com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo?


A figura abaixo ilustra o exercício.

exercício-taxa-de-variação.png
exercício-taxa-de-variação.png (4.94 KiB) Exibido 4158 vezes


Por semelhança de triângulos, temos que:

\frac{s}{x+s} = \frac{1,8}{4,5} \Rightarrow s= \frac{2}{3}x

A sombra s está em função da distância x, que por sua vez está em função do tempo. Sendo assim, aplicando a Regra da Cadeia:

\frac{ds}{dt} = \frac{ds}{dx}\frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{ds}{dt} = \frac{2}{3} \cdot 1,5 \Rightarrow \frac{ds}{dt} = 1

Ou seja, a velocidade de crescimento da sombra é 1 m/s.

Voltando a figura que ilustra o exercício, p representa a distância percorrida pela "ponta da sombra". Podemos então escrever que:

p = x + s \Rightarrow p = \frac{5}{3}x .

O valor de p está em função de x, que por sua vez está em função do tempo. Sendo assim, aplicando a Regra da Cadeia:

\frac{dp}{dt} = \frac{dp}{dx}\frac{dx}{dt} \Rightarrow \frac{dp}{dt} = \frac{5}{3} \cdot 1,5 \Rightarrow \frac{dp}{dt} = \frac{5}{2}

Ou seja, a velocidade com que a ponta da sombra do homem está se movendo é \frac{5}{2} m/s.
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}