[Diferenciabilidade em 2 variáveis] pela definição.

por **TheoFerraz** » Sex Out 14, 2011 11:55

Gente socorro... a prova é segunda e eu percebi que algumas funções que envolvem frações eu não to conseguindo provar a diferenciabilidade pela definição.

Basicamente: prove pela definição que a função $f(x,y) = \frac{1}{x+y}$ é diferenciável.

Pra começar que eu assumo que o problema nao esteja falando dos ptos (x,0) e (0,y) mas vamo lá

Pela definição, f só é diferenciável $\Leftrightarrow$

$\lim_{(h,k)\rightarrow (0,0)} \frac{ f(x+h,y+k) - f(x,y) - \left( \frac {\partial f}{\partial x} \right)h - \left( \frac {\partial f}{\partial y} \right)k}{||(h,k)||} = 0$

Entao vamos lá. As derivadas parciais são da forma:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{1}{{(x+y)}^{2}}$ correto ? Então o limite fica assim:

$\lim_{ (h,k)\rightarrow (0,0 } \left[ \left( \frac{1}{x+h+y+k} - \frac{1}{x+y} + \frac{h}{{(x+y)}^{2}} + \frac{k}{{(x+y)}^{2}} \right)\times \frac{1}{||(h,k)||} \right]$

Na minha cabeça isso ja ta meio errado... Se o limite de uma soma é a soma dos limites entao eu ja poderia distribuir o inverso do modulo em todos esses 4 termos e eu ja obteria limites que não existem. tem coisa errada ai né ?

Muito obrigado! Espero ter ficado claro. Por favor, ajudem-me. Obrigado...

[Diferenciabilidade em 2 variáveis] pela definição.

[Diferenciabilidade em 2 variáveis] pela definição.

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