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Limites pela definição formal

Limites pela definição formal

Mensagempor joaofonseca » Ter Out 11, 2011 09:38

Seja o seguinte limite:

\lim_{x\rightarrow2}(x)=2

Pela definição formal de limite eu comecei assim:

\left|x-2 \right|< \varepsilon

0<\left|x-2\right|<\delta

Depois resolvi a primeira:

\left|x-2\right|<\varepsilon
-\varepsilon<x-2<\varepsilon
2-\varepsilon<x<2+\varepsilon

Mas daqui já não sei como fazer para continuar a provar o limite.
Alguém me ajuda?
Obrigado
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Re: Limites pela definição formal

Mensagempor joaofonseca » Qua Out 12, 2011 19:29

Bem..depois de ter pesquisado no YouTube consegui perceber minimamente como funciona a definição formal de limite.

Para o exemplo
\lim_{x \rightarrow 2}(x)=2

Temos a seguinte leitura:
A função pode aproximar-se de 2 tanto quanto quisermos, fazendo x aproximar-se de 2 o suficientemente necessário.
Assim para qualquer número \varepsilon>0 existe um \delta positivo, tal que

0<\left |x-2  \right |<\delta\Rightarrow \left | x-2 \right |<\varepsilon

Assim \delta=\varepsilon. Podemos concluir que a razão entre \delta e \varepsilon é 1.O limite existe.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}