Limite

por **Claudin** » Qui Out 06, 2011 21:02

Não consigo resolver o limite a seguir.

$\lim_{x\rightarrow{\infty}}\sqrt[]{x^2+x}-x\Rightarrow \lim_{x\rightarrow{\infty}}\sqrt[]{x^2(\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2})}-\frac{x}{x^2}\Rightarrow\lim_{x\rightarrow{\infty}}|x|\sqrt[]{(1+0)}-0\Rightarrow\lim_{x\rightarrow{\infty}}x.1 = \infty$

por **LuizAquino** » Qui Out 06, 2011 21:26

A estratégia correta é começar multiplicando e dividindo todo o limite pela expressão $\sqrt{x^2+x}+x$ .

Isto é, comece fazendo:

$\lim_{x\to +\infty}}\sqrt{x^2+x} - x = \lim_{x\to +\infty}} \frac{\left(\sqrt{x^2+x} - x\right)\left(\sqrt{x^2+x} + x\right)}{\left(\sqrt{x^2+x} + x\right)}$

Agora tente terminar o exercício.

por **Claudin** » Qui Out 06, 2011 21:53

Porque neste limite não posso resolver desse jeito que eu postei acima.

Desse seu modo, acho que resulta em 1/12

por **LuizAquino** » Sex Out 07, 2011 08:36

Claudin escreveu:Porque neste limite não posso resolver desse jeito que eu postei acima.

Por um motivo simples: note que

não representa o mesmo número que $-\frac{x}{x^2}$ (exceto quando $x = \pm 1$ ).

Claudin escreveu:Desse seu modo, acho que resulta em 1/12

O resultado é 1/2 e não 1/12.

por **Claudin** » Sex Out 07, 2011 10:02

Correto, a resposta é 1/2.

Porém continuo não compreendendo porque de não ter como resolver do meu modo. Sendo um $\lim_{x\rightarrow{\infty}}$
Sempre podemos, dividir o numerador e o denominador que no caso é 1, por x elevado ao maior expoente, como por exemplo:

$\lim_{x\rightarrow{-\infty}}\frac{2x^2-x+5}{4x^3-1}\Rightarrow\lim_{x\rightarrow{-\infty}}\frac{x^2(\frac{2x^2}{x^2}-\frac{x}{x^2}+\frac{5}{x^2})}{x^3(\frac{4x^3}{x^3}-\frac{1}{x^3})}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow{-\infty}}\frac{(2-0+0)}{x(4-0)}= 0$

ou então resolver o limite com o x com maiores expoentes como por exemplo:

$\lim_{x\rightarrow{\infty}}\frac{3x^5-7x^2+2}{2x^4+1}\Rightarrow\lim_{x\rightarrow{\infty}}\frac{3x^5}{2x^4}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow{\infty}}\frac{3x}{2}= \frac{3.(\infty)}{2}= +\infty$

Correto até ai?

Nunca tinha visto esse modo de multiplicar e dividir pelo conjugado quando o limite tender ao infinito. Nas suas vídeo-aulas Luiz Aquino, se me recordo bem você resolve exercícios que o x tende a infinito, e resolve somente desse modo que eu postei acima. Ou seja, afinal gostaria de saber, sempre que tiver raiz de algo que leve a uma indeterminação mesmo que o x tende a infinito, o correto seria a multiplicação e divisão pelo conjugado ao invés de resolver desse modo que eu poste?

por **LuizAquino** » Sex Out 07, 2011 10:49

Claudin escreveu:Porém continuo não compreendendo porque de não ter como resolver do meu modo. Sendo um $\lim_{x\rightarrow{\infty}}$
Sempre podemos, dividir o numerador e o denominador que no caso é 1, por x elevado ao maior expoente

Você tinha o termo

e escreveu $-\frac{x}{x^2}$ . Note que você apenas dividiu por x^2

. Para não alterar o termo, você deveria ter dividido e multiplicado por x^2

. Isto é, você poderia ter escrito $-\frac{x\cdot x^2}{x^2}$ (sendo x não nulo). Entretanto, essa estratégia não levaria na solução do limite nesse caso. Tente aplicar essa estratégia e analisar o que acontece.

Claudin escreveu:Nas suas vídeo-aulas Luiz Aquino, se me recordo bem você resolve exercícios que o x tende a infinito, e resolve somente desse modo que eu postei acima.

Você está enganado. Veja a resolução do exemplo 4 da vídeo-aula "06. Cálculo I - Limites no Infinito".

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