Calculo de volume por Integral definida

por **teteffs** » Qui Out 06, 2011 17:32

Boa tarde pessoal ,curso Engenharia de Produção e estou com uma dúvida quanto a uma questão de calculo de volume de um solido por integral definida.Estou em duvida quanto ao raio do grafico. A questão é a seguinte: A região R, limitada pela curva y=1/4 x², o eixo x e as retas x=1 e x=4 gira em torno do eixo x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado.

Bom primeiramente eu procurei o xv que é xv=0 ja que em 1/4 x², o xv sendo -b/2a e nao havendo o termo b o resultado é 0. A partir disso em minha tabela de valores de x e y ficaria: Lembrando o xv deu zero entao conto 2 valores antes do zero e 2 valores depois do zero para minha tabela
x y
-2 1 Bom pessoal quando fiz o grafico que resulta em duas parábolas,uma concavidade para cima e a outra para baixo, mas estou em duvida qual sera
-1 1/4 o raio,sei que é algum y,o grafico demonstra isso, mas quando se faz o grafico os valores vao de 0 a 2 ,e ele quer de 1 a 4 portanto creio que o raio
0 0 nao sera somente o y,alguem pode me ajudar a pensar?
1 1/4
2 1

por **LuizAquino** » Qui Out 06, 2011 18:43

teteffs escreveu:A região R, limitada pela curva y=1/4 x², o eixo x e as retas x=1 e x=4 gira em torno do eixo x. Encontrar o volume do sólido de revolução gerado.

A figura abaixo ilustra a região e o sólido gerado.

Note que cada seção transversal, perpendicular ao eixo x, será um círculo de raio y (sendo que $y=\frac{1}{4} x^2$ ). Portanto, a área de cada seção será dada por:

$A = \pi y^2 \Rightarrow A = \frac{\pi}{16} x^4$

Enxergando a área A como uma função de x, o volume desse sólido será dado por

$V = \int_1^4 A(x)\, dx = \int_1^4 \frac{\pi}{16} x^4 \, dx$

Agora tente terminar o exercício.

Observação
Se deseja revisar esse conteúdo, então eu recomendo a vídeo-aula "38. Cálculo I - Aplicação de Integrais no Cálculo de Volumes". Ela está disponível em meu canal no YouTube:

http://www.youtube.com/LCMAquino

por **teteffs** » Sex Out 07, 2011 17:53

Oi Luiz Aquino mto obrigado pela ajuda entao eu havia pensado como vc e achei este resultado:

CodeCogsEqn.gif

Bom eu nao vejo uma outra maneira de achar o raio a nao ser aquele mas meus colegas de faculdade teimam em dizer q esta errado, que o professor nao concorda!!!

por **teteffs** » Sex Out 07, 2011 17:56

teteffs escreveu:Oi Luiz Aquino mto obrigado pela ajuda entao eu havia pensado como vc e achei este resultado:

Bom eu nao vejo uma outra maneira de achar o raio a nao ser aquele mas meus colegas de faculdade teimam em dizer q esta errado, que o professor nao concorda!!!

por **LuizAquino** » Sex Out 07, 2011 19:11

A solução correta é:

$V = \int_1^4 \frac{\pi}{16} x^4 \, dx = \left[\frac{\pi}{80}x^5\right]_1^4 = \frac{\pi}{80}\cdot 4^5 - \frac{\pi}{80}\cdot 1^5 = \frac{1023}{80}\pi\textrm{ (u. v. - unidade de volume)}$

Observação

Veja na figura abaixo que dado um número x no intervalo [1, 4], o valor de y associado a ele (através da curva $y = \frac{1}{4}x^2$ ) será o raio do círculo que representa uma seção transversal do sólido.

: regiãoR-raio-y.png (81.98 KiB) Exibido 5907 vezes

por **teteffs** » Sex Out 07, 2011 19:20

[quote="LuizAquino"]A solução correta é:

Oiiii então Luis Aquino essa questão é de uma prova que tive,todo mundo da sala errou sabe,muitos fizeram a questao inclusive eu na prova,e o raciocinio era o mesmo que o seu, havia dado este mesmo resultado seu,so que o professor deu a questao que vc resolveu como errada,por isso calculei dessa outra maneira,ele pediu entao q refizessemos essa questao valendo nota,e por isso ainda nao corrigiu a questao,nao entendemos pq p gente dava esse valor seu mesmo mas cmo ele ja deu como errado estamos ficando doidos.

por **LuizAquino** » Sáb Out 08, 2011 19:40

Se o enunciado do exercício é exatamente como o que você postou, então a resposta correta é como indiquei nas mensagens anteriores.

por **teteffs** » Sáb Out 08, 2011 20:18

LuizAquino escreveu:Se o enunciado do exercício é exatamente como o que você postou, então a resposta correta é como indiquei nas mensagens anteriores.

O enunciado é aquele mesmo,muitissimo obrigado pela ajuda e paciencia, tenha um bom fim de semana,fique com Deus!