Limite

por **Claudin** » Sáb Set 24, 2011 21:20

Não consigo entender este exercício
Como aplicar fatoração quando expoente é "n" alguém me explica

se fosse por exemplo: $\lim_{x\rightarrow{p}}\frac{x^4-p^4}{x-p}\Rightarrow \frac{(x-p)(x+p)(x^2+p^2)}{(x-p)}\Rightarrow (2p)(2p^2)= 4p^3$
Correto?

Agora sendo

$\lim_{x\rightarrow{p}}\frac{x^n-p^n}{x-p}$

Considerando (n>0, natural)

por **LuizAquino** » Sáb Set 24, 2011 22:06

Claudin escreveu:se fosse por exemplo: $\lim_{x\to p}\frac{x^4-p^4}{x-p}\Rightarrow \frac{(x-p)(x+p)(x^2+p^2)}{(x-p)}\Rightarrow (2p)(2p^2)= 4p^3$
Correto?

Ok. Faltou apenas repetir o símbolo de limite no segundo passo.

Claudin escreveu:Agora sendo

$\lim_{x\to p}\frac{x^n-p^n}{x-p}$

Considerando (n>0, natural)

Por favor, vide o produto notável que foi explicado no tópico a seguir.

Re: Limite
viewtopic.php?f=120&t=3812#p12338

por **Claudin** » Dom Set 25, 2011 10:54

Não consegui entender a resolução do limite, o modo a ser feito em qualquer limite que tenha potência n. :n:

alguém poderia explicar detalhadamente como no outro tópico. Obrigado

por **LuizAquino** » Dom Set 25, 2011 11:53

Claudin escreveu:alguém poderia explicar detalhadamente como no outro tópico. Obrigado

Basta usar o produto notável indicado no tópico acima:

$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^{2} + \ldots + a^2b^{n-3} + ab^{n-2} + b^{n-1})$

Se desejar entender mais a aplicação desse produto notável, então atribua valores para n e estude com atenção a forma como a expressão se comporta. Por exemplo, para n = 6 temos:

a^6 - b^6 = (a-b)(a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5)

a^6 - b^6 = (a-b)(a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5)

Vejamos agora o cálculo do limite. Mas antes disso, note que no segundo membro da identidade acima, entre os parênteses mais largos, há 6 termos. No caso geral, no desenvolvimento de a^n - b^n

aparecerão n termos entre esses parênteses mais largos.

Considerando essa informação, temos que o limite será:

$\lim_{x\to p}\frac{x^n-p^n}{x-p} = \lim_{x\to p}\frac{(x-p)(x^{n-1} + x^{n-2}p + x^{n-3}p^{2} + \ldots + x^2p^{n-3} + xp^{n-2} + p^{n-1})}{x-p}$

$= \lim_{x\to p} x^{n-1} + x^{n-2}p + x^{n-3}p^{2} + \ldots + x^2p^{n-3} + xp^{n-2} + p^{n-1}$

$= p^{n-1} + p^{n-2}p + p^{n-3}p^{2} + \ldots + p^2p^{n-3} + pp^{n-2} + p^{n-1}$

$= p^{n-1} + p^{n-1} + p^{n-1} + \ldots + p^{n-1} + p^{n-1} + p^{n-1}$

$= np^{n-1}$

por **Claudin** » Qui Set 29, 2011 21:21

Compreendi Luiz Aquino.
Obrigado