• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

[integrais] Calculando áreas - Integrais

[integrais] Calculando áreas - Integrais

Mensagempor Faby » Seg Set 19, 2011 10:55

Calcule a área:
O conjunto A delimitado pelos gráficos de y= sen\left(x \right) e y= cos\left(x \right) para x \in \left[0,2\pi \right].

Resolução:

Já fiz o gráfico,
a fórmula a ser utilizada seria
Area= \int_{0}^{2\pi} \left|f(x) \right|dx
??
Editado pela última vez por Faby em Seg Set 19, 2011 11:08, em um total de 1 vez.
Faby
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 16
Registrado em: Qua Abr 27, 2011 10:15
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática
Andamento: cursando

Re: [integrais] Calculando áreas - Integrais

Mensagempor LuizAquino » Seg Set 19, 2011 10:58

Faby,

Por favor, poste também suas tentativas e dúvidas.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: [integrais] Calculando áreas - Integrais

Mensagempor Faby » Ter Set 20, 2011 12:56

Pensei no seguinte:
S=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}senx+cosx dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}senx+cosx} dx -\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{4}}senx+cosx dx - \int_{5\frac{\pi}{4}}^{2\pi}senx+cosx dx + \int_{3\frac{\pi}{2}}^{2\pi}senx+ cosx dx

Isso tudo seria
S=\int_{0}^{2\pi}\left| senx \right| dx= \left|Fb-Fa \right|  +  \int_{0}^{2\pi}\left| cosx \right| dx= \left|Fb-Fa \right|


???
Faby
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 16
Registrado em: Qua Abr 27, 2011 10:15
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática
Andamento: cursando

Re: [integrais] Calculando áreas - Integrais

Mensagempor LuizAquino » Ter Set 20, 2011 17:46

Vide a ilustração do conjunto A que você deseja calcular a área.

área-A.png
área-A.png (8.92 KiB) Exibido 7657 vezes


Note como essa área será dada por:

\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos x - \,\textrm{sen}\, x \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \,\textrm{sen}\, x - \cos x \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \,\textrm{sen}\, x \,dx + \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \, dx\right| + \left|\int_{\pi}^{\frac{5\pi}{4}} \cos x - \,\textrm{sen}\, x \, dx\right| + \left|\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} \,\textrm{sen}\, x - \cos x\, dx\right| + \left|\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \,\textrm{sen}\, x \,dx\right| + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos x \, dx
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: [integrais] Calculando áreas - Integrais

Mensagempor Faby » Qua Set 21, 2011 01:52

...estava errando pq não tinha compreendido como "montar' a integral. Com o seu desenho o raciocínio foi mais fácil, obrigada

Calculei as integrais separadamente, e cheguei ao seguinte resultado

=(?2-2)+(?2-2)+1+|-1|+|-?2+2|+|-1|+|-1|+|1|=
=?2+1 u.a.

será que acertei?? ou devo calcular novamente...
Faby
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 16
Registrado em: Qua Abr 27, 2011 10:15
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática
Andamento: cursando

Re: [integrais] Calculando áreas - Integrais

Mensagempor LuizAquino » Qua Set 21, 2011 11:51

Faby escreveu:será que acertei?? ou devo calcular novamente...

Você ainda não acertou. Calcule novamente.

Por exemplo, note que:

\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos x - \,\textrm{sen}\, x \, dx  = \left[\textrm{sen}\,x + \cos x\right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \left(\textrm{sen}\,\frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}\right)-\left(\textrm{sen}\,0 + \cos 0\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - 1 = \sqrt{2} - 1
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: [integrais] Calculando áreas - Integrais

Mensagempor Faby » Qua Set 21, 2011 15:47

calculando novamente, cheguei ao seguinte resultado:
(\sqrt[]{2}-1)+(\sqrt[]{2}-1)+ \left|-1 \right|+\left|-\sqrt[]{2}+1 \right|+\left|-\sqrt[]{2} +1\right|+\left|-1 \right|+1=4  \sqrt[]{2}-1

E agora??
obrigada
Faby
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 16
Registrado em: Qua Abr 27, 2011 10:15
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática
Andamento: cursando

Re: [integrais] Calculando áreas - Integrais

Mensagempor LuizAquino » Qua Set 21, 2011 16:36

Faby escreveu:(\sqrt[]{2}-1)+(\sqrt[]{2}-1)+ \left|-1 \right|+\left|-\sqrt[]{2}+1 \right|+\left|-\sqrt[]{2} +1\right|+\left|-1 \right|+1=4  \sqrt[]{2}-1

E agora??

Você está quase lá! Ainda não está completo. Note que há oito integrais, mas na expressão acima só há sete termos. Ao que parece você esqueceu de computar a integral:

\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \,\textrm{sen}\, x \,dx = 1
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: [integrais] Calculando áreas - Integrais

Mensagempor Faby » Qua Set 21, 2011 16:59

calculei, mas esqueci na hora de digitar
(\sqrt[]{2}-1)+(\sqrt[]{2}-1)+1+ \left|-1 \right|+\left|-\sqrt[]{2}+1 \right|+\left|-\sqrt[]{2} +1\right|+\left|-1 \right|+1=4  \sqrt[]{2}

acertei??
Faby
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 16
Registrado em: Qua Abr 27, 2011 10:15
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática
Andamento: cursando

Re: [integrais] Calculando áreas - Integrais

Mensagempor LuizAquino » Qua Set 21, 2011 17:10

Faby escreveu:calculei, mas esqueci na hora de digitar
(\sqrt[]{2}-1)+(\sqrt[]{2}-1)+1+ \left|-1 \right|+\left|-\sqrt[]{2}+1 \right|+\left|-\sqrt[]{2} +1\right|+\left|-1 \right|+1=4 \sqrt[]{2}

acertei??

Agora sim! :y:

Aproveito ainda para indicar outra solução.

Analisando a simetria da figura, note que a área desejada também poderia ter sido calculada por:

4\left(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \,\textrm{sen}\,x - \cos x \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \,\textrm{sen}\,x \, dx\right)

Tente enxergar o porque disso analisando a figura.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado

Re: [integrais] Calculando áreas - Integrais

Mensagempor Faby » Qua Set 21, 2011 17:37

...pq cada uma das integrais repetem 4 vezes...
nossa, com esta fórmula fica bem mais simplificada.
São muitas contas daquele jeito que fizemos, aí fica fácil de cometer erros.
Muito obrigada pela ajuda matemática!

Estou calculando a outra questão que eu postei.
teria como eu enviar arquivo do word, meu ombro tá reclamando, ou por imagem?

Até +
bjs
Faby
Usuário Ativo
Usuário Ativo
 
Mensagens: 16
Registrado em: Qua Abr 27, 2011 10:15
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Matemática
Andamento: cursando

Re: [integrais] Calculando áreas - Integrais

Mensagempor LuizAquino » Qua Set 21, 2011 18:03

Faby escreveu:Estou calculando a outra questão que eu postei.
teria como eu enviar arquivo do word, meu ombro tá reclamando, ou por imagem?

Não é recomendado que você poste a solução dessa forma (através de arquivo). Pois isso prejudica os sistemas de busca.
professoraquino.com.br | youtube.com/LCMAquino | @lcmaquino

"Sem esforço, não há ganho."
Dito popular.
Avatar do usuário
LuizAquino
Colaborador Moderador - Professor
Colaborador Moderador - Professor
 
Mensagens: 2654
Registrado em: Sex Jan 21, 2011 09:11
Localização: Teófilo Otoni - MG
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Mestrado - Modelagem Computacional
Andamento: formado


Voltar para Cálculo: Limites, Derivadas e Integrais

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 47 visitantes

 



Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D