[integrais] Calculando áreas - Integrais

por **Faby** » Seg Set 19, 2011 10:55

Calcule a área:
O conjunto A delimitado pelos gráficos de $y= sen\left(x \right)$ e $y= cos\left(x \right)$ para $x \in \left[0,2\pi \right]$ .

Resolução:

Já fiz o gráfico,
a fórmula a ser utilizada seria
$Area= \int_{0}^{2\pi} \left|f(x) \right|dx$
??

por **LuizAquino** » Seg Set 19, 2011 10:58

Faby,

Por favor, poste também suas tentativas e dúvidas.

por **Faby** » Ter Set 20, 2011 12:56

Pensei no seguinte:
$S=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}senx+cosx dx+\int_{\frac{\pi}{4}}^{\pi}senx+cosx} dx -\int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{4}}senx+cosx dx - \int_{5\frac{\pi}{4}}^{2\pi}senx+cosx dx + \int_{3\frac{\pi}{2}}^{2\pi}senx+ cosx dx$

Isso tudo seria
$S=\int_{0}^{2\pi}\left| senx \right| dx= \left|Fb-Fa \right| + \int_{0}^{2\pi}\left| cosx \right| dx= \left|Fb-Fa \right|$

???

por **LuizAquino** » Ter Set 20, 2011 17:46

Vide a ilustração do conjunto A que você deseja calcular a área.

: área-A.png (8.92 KiB) Exibido 7684 vezes

Note como essa área será dada por:

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos x - \,\textrm{sen}\, x \, dx + \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \,\textrm{sen}\, x - \cos x \, dx$ $+ \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \,\textrm{sen}\, x \,dx + \left| \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x \, dx\right|$ $+ \left|\int_{\pi}^{\frac{5\pi}{4}} \cos x - \,\textrm{sen}\, x \, dx\right|$ $+ \left|\int_{\frac{5\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{2}} \,\textrm{sen}\, x - \cos x\, dx\right|$ $+ \left|\int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \,\textrm{sen}\, x \,dx\right| + \int_{\frac{3\pi}{2}}^{2\pi} \cos x \, dx$

por **Faby** » Qua Set 21, 2011 01:52

...estava errando pq não tinha compreendido como "montar' a integral. Com o seu desenho o raciocínio foi mais fácil, obrigada

Calculei as integrais separadamente, e cheguei ao seguinte resultado

=(?2-2)+(?2-2)+1+|-1|+|-?2+2|+|-1|+|-1|+|1|=
=?2+1 u.a.

será que acertei?? ou devo calcular novamente...

por **LuizAquino** » Qua Set 21, 2011 11:51

Faby escreveu:será que acertei?? ou devo calcular novamente...

Você ainda não acertou. Calcule novamente.

Por exemplo, note que:

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos x - \,\textrm{sen}\, x \, dx = \left[\textrm{sen}\,x + \cos x\right]_0^{\frac{\pi}{4}}$ $= \left(\textrm{sen}\,\frac{\pi}{4} + \cos \frac{\pi}{4}\right)-\left(\textrm{sen}\,0 + \cos 0\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 - 1 = \sqrt{2} - 1$

por **Faby** » Qua Set 21, 2011 15:47

calculando novamente, cheguei ao seguinte resultado:
$(\sqrt[]{2}-1)+(\sqrt[]{2}-1)+ \left|-1 \right|+\left|-\sqrt[]{2}+1 \right|+\left|-\sqrt[]{2} +1\right|+\left|-1 \right|+1=4 \sqrt[]{2}-1$

E agora??
obrigada

por **LuizAquino** » Qua Set 21, 2011 16:36

Faby escreveu: $(\sqrt[]{2}-1)+(\sqrt[]{2}-1)+ \left|-1 \right|+\left|-\sqrt[]{2}+1 \right|+\left|-\sqrt[]{2} +1\right|+\left|-1 \right|+1=4 \sqrt[]{2}-1$

E agora??

Você está quase lá! Ainda não está completo. Note que há oito integrais, mas na expressão acima só há sete termos. Ao que parece você esqueceu de computar a integral:

$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \,\textrm{sen}\, x \,dx = 1$

por **Faby** » Qua Set 21, 2011 16:59

calculei, mas esqueci na hora de digitar
$(\sqrt[]{2}-1)+(\sqrt[]{2}-1)+1+ \left|-1 \right|+\left|-\sqrt[]{2}+1 \right|+\left|-\sqrt[]{2} +1\right|+\left|-1 \right|+1=4 \sqrt[]{2}$

acertei??

por **LuizAquino** » Qua Set 21, 2011 17:10

Faby escreveu:calculei, mas esqueci na hora de digitar
$(\sqrt[]{2}-1)+(\sqrt[]{2}-1)+1+ \left|-1 \right|+\left|-\sqrt[]{2}+1 \right|+\left|-\sqrt[]{2} +1\right|+\left|-1 \right|+1=4 \sqrt[]{2}$

acertei??

Agora sim! :y:

Aproveito ainda para indicar outra solução.

Analisando a simetria da figura, note que a área desejada também poderia ter sido calculada por:

$4\left(\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \,\textrm{sen}\,x - \cos x \, dx + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \,\textrm{sen}\,x \, dx\right)$

Tente enxergar o porque disso analisando a figura.

por **Faby** » Qua Set 21, 2011 17:37

...pq cada uma das integrais repetem 4 vezes...
nossa, com esta fórmula fica bem mais simplificada.
São muitas contas daquele jeito que fizemos, aí fica fácil de cometer erros.
Muito obrigada pela ajuda matemática!

Estou calculando a outra questão que eu postei.
teria como eu enviar arquivo do word, meu ombro tá reclamando, ou por imagem?

Até +
bjs