[LIMITES] Limite de Raiz "m" de "infinito"

por **antonelli2006** » Sáb Set 17, 2011 05:56

$\lim_{x\rightarrow\infty} \sqrt[m]{x}$

Olá galera, sou novo por aqui...
Estou cursando Eng. de Controle e Automação no CEFET/RJ e estou com uma dúvida na questão acima.
Na minha tentativa, consegui isso:

$\lim_{x\rightarrow\infty} \sqrt[m]{x} = \infty$

$\sqrt[m]{\infty} = {\infty}^{\frac{1}{m}} = \infty$

Mas temos que $\sqrt{4} = \pm2$ , então, pode-se dizer que $\sqrt[m]{\infty} = \pm\infty$ (quando "m" for par) e $\sqrt[m]{\infty} = +\infty$ (quando "m" for ímpar), certo?

Então o limite também seguiria a regra acima?
Agradeço à todo, grande abraço.

por **LuizAquino** » Sáb Set 17, 2011 10:27

antonelli2006 escreveu:Olá galera, sou novo por aqui...

Seja bem-vindo ao fórum!

antonelli2006 escreveu:Na minha tentativa, consegui isso:
$\lim_{x\rightarrow\infty} \sqrt[m]{x} = \infty$

Está correto.

Sendo que se m é par, então temos que:
$\lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt[m]{x} = +\infty$

Já se m é ímpar, então temos que:
$\lim_{x\rightarrow +\infty} \sqrt[m]{x} = +\infty$

$\lim_{x\rightarrow -\infty} \sqrt[m]{x} = -\infty$

antonelli2006 escreveu:Mas temos que $\sqrt{4} = \pm2$ , então, pode-se dizer que $\sqrt[m]{\infty} = \pm\infty$ (quando "m" for par) e $\sqrt[m]{\infty} = +\infty$ (quando "m" for ímpar), certo?

Errado! Você está confundindo o conceito de radiciação. Eu recomendo que você leia o tópico abaixo:
Dúvida sobre Propriedades de Radiciação
viewtopic.php?f=106&t=4143

Observação
Eu acredito que há dois canais no YouTube que podem lhe interessar:
http://www.youtube.com/nerckie
http://www.youtube.com/LCMAquino

por **antonelli2006** » Sáb Set 17, 2011 17:52

Entendi!
A diferença está na equação e não na operação.

$y = \sqrt[]{4}$
y = 2

${y}^{2} = 4$
$y = \sqrt[]{4}$
$y = \pm2$

Então...

$y = \sqrt[]{\infty}$
$y = \infty$

${y}^{2} = \infty$
$y = \sqrt[]{}\infty$
$y = \pm\infty$

Tendo estas propriedades, é correto afirmar que $\lim_{x\rightarrow\infty} \sqrt[m]{x} = \infty$ independente do "m" ser par ou ímpar. Certo?

por **LuizAquino** » Sáb Set 17, 2011 18:33

antonelli2006 escreveu:Entendi!
A diferença está na equação e não na operação.

Ok.

antonelli2006 escreveu: $y = \sqrt[]{4}$

Ok.

antonelli2006 escreveu: ${y}^{2} = 4$
$y = \sqrt[]{4}$
$y = \pm 2$

Ok.

antonelli2006 escreveu: $y = \sqrt[]{\infty}$
$y = \infty$

${y}^{2} = \infty$
$y = \sqrt{\infty}$
$y = \pm\infty$

Cuidado! O infinito, que como você já sabe é representado pelo símbolo $\infty$ , é um conceito, mas não um número fixo. Não faz sentido escrever algo como $y = \sqrt{\infty}$ ou ainda $y^2 = \infty$ . Quando você escreve algo desse tipo é como se você estivesse trabalhando com o conceito de infinito como se ele fosse um número qualquer fixo. O que podemos escrever (e faz sentido) seria algo como $y = \lim_{x\to +\infty} \sqrt{x}$ .

antonelli2006 escreveu:Tendo estas propriedades, é correto afirmar que $\lim_{x\rightarrow\infty} \sqrt[m]{x} = \infty$ independente do "m" ser par ou ímpar. Certo?

Mais uma vez cuidado. É necessário analisar o sinal. Vide os limites que apresentei na mensagem anterior conforme m seja par ou ímpar.

por **antonelli2006** » Sáb Set 17, 2011 21:37

Mas dizemos que independente de "m" ser par ou ímpar, o seguinte limite sempre acontecerá:

$\lim_{x\rightarrow\infty} \sqrt[m]{x}$

Pois $x\rightarrow\infty$ , sendo $\infty$ POSITIVO! Certo?

Me baseei na definição "que a raiz m-ésima de qualquer número positivo é sempre positivo"! *-)

por **LuizAquino** » Dom Set 18, 2011 10:08

antonelli2006 escreveu:Mas dizemos que independente de "m" ser par ou ímpar, o seguinte limite sempre acontecerá:

$\lim_{x\rightarrow\infty} \sqrt[m]{x}$

Pois $x\rightarrow\infty$ , sendo $\infty$ POSITIVO! Certo?

Ok. Mas que tal já deixar explícito o sinal? Dessa maneira não fica dúvida sobre o que desejamos dizer. Portanto, o interessante é escrevermos:

$\lim_{x \to + \infty} \sqrt[m]{x} = + \infty$