nietzsche escreveu:Queremos provar que dado
> 0, existe m>0, tal que,
se n > m, então
. (*)
Ok. Mas o abuso de notação com a igualdade pode confundir. Pode dar a impressão de que
ao invés de
como diz o exercício. Eu acredito que seria mais interessante colocar apenas
.
nietzsche escreveu:Sabemos que para todo
> 0, existe M>0, tal que,
se n > M, então
.
Ok.
nietzsche escreveu:Como
é uma bijeção, temos uma correspondência um a um entre
e n, para todo n natural.
Ok.
nietzsche escreveu:Ou seja que
e an tem o mesmo número de termos.
Ok.
nietzsche escreveu:Tomando m = M teremos que a partir de n>M a linha (*) acontece (...)
Aqui há um problema. Veja que na bijeção
nada garante que se i < j temos
. Nesse caso, nem todos os termos a partir de M necessariamente tornam (*) verdadeira.
Vamos então dividir em duas situações.
(Caso 1) é tal que se i < j temos
.
Como
é bijeção entre os naturais, dado M natural existe n* também natural tal que
.
Tomando-se agora n > n*, temos
e pela hipótese da convergência de
segue que
.
(Caso 2) é tal que existem i e j, com i < j, para os quais
.
De modo análogo ao que justificamos antes, dado M natural existe n* também natural tal que
.
Pelo fato de
ser bijeção entre os naturais, podemos afirmar que existem
finitos naturais i tais que
. Seja i* o maior dos naturais que torna essa desigualdade verdadeira. Façamos m = n* + i*.
Para n > m teremos que
, portanto pela hipótese da convergência de
segue que
.