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É possível aplicar D' Hospital?

É possível aplicar D' Hospital?

Mensagempor clarivando » Qua Dez 24, 2008 19:11

Molina, para aplicar Hospital em \lim_{x\to0}\((senx)^x, {0^0}, fiz ln\lim_{x\to0}\((senx)^x = ln k e em seguida obtive ln k = \lim_{x\to0}\(ln(senx)^x = \lim_{x\to0}\frac{\frac{x}{x}\ln(senx)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to0}\frac{\ln(senx)}{\frac{1}{x}} = \lim_{x\to0}\frac{-\infty}{\infty}, ou seja, não consegui encontrar \frac{\infty}{\infty} e nem \frac{0}{0}, mas afinal, de alguma maneira, será que é possível aplicar D' Hospital nesse limite? Ah, e obrigado por me esclarecer que no limite ln0 tende a menos infinito!
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Re: É possível aplicar D' Hospital?

Mensagempor Molina » Qua Dez 24, 2008 21:12

Boa noite, Clarivando.

Primeiramente, de nada pela ajuda anterior. Sempre é bom analisar graficamente um limite.

Agora vamos a esta dúvida.
Antes de tudo, quando você D' Hospital nao queria dizer L'Hopital? O nome deve-se a esse matemático aqui: http://pt.wikipedia.org/wiki/Guillaume_ ... C3%B4pital que publicou a regra que levou seu nome.

Neste caso acho que nao dá pra usar a regra, pelo menos nao entendi quando voce foi de \lim_{x\to0}\((senx)^x para ln\lim_{x\to0}\((senx)^x Se possível me explique melhor.

Já tentou usar a regra da cadeia?

Abraços e bom estudo!
Ah, e um feliz natal.
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Re: É possível aplicar D' Hospital?

Mensagempor Guill » Dom Mai 27, 2012 16:47

Não é muito elegante aplicar o logaritmo neperiano no limite. Deve ser feito assim:

Seja y uma função tal que:

y = (senx)^x


Podemos fazer:

ln(y) = ln[(senx)^x]


Logo:

\lim_{x\rightarrow 0} ln(y) = \lim_{x\rightarrow 0}ln[(senx)^x]

\lim_{x\rightarrow 0} ln(y) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(senx)}{\frac{1}{x}}


Esse é um caso onde se pode aplicar o Teorema de L'Hospital:

\lim_{x\rightarrow 0} ln(y) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{cosx}{senx}}{\frac{-1}{x^2}}

\lim_{x\rightarrow 0} ln(y) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-x^2.cosx}{senx}


Podemos usar novamente o Teorema:

\lim_{x\rightarrow 0} ln(y) = \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-2x.cosx - x^2.senx}{cosx} = 0



Uma vez que, quando ln(y) \rightarrow 0 \Rightarrow y \rightarrow 1:

\lim_{x\rightarrow 0} (senx)^x = 1
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Re: É possível aplicar D' Hospital?

Mensagempor Guill » Dom Mai 27, 2012 16:52

Só para esclarecer, não importa o sinal, uma vez que:

\frac{-\infty}{\infty}=\frac{\frac{1}{\infty}}{\frac{1}{-\infty}} = \frac{0}{-0}=\frac{0}{0}
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Assunto: Funções
Autor: Emilia - Sex Dez 03, 2010 13:24

Preciso de ajuda no seguinte problema:
O governo de um Estado Brasileiro mudou a contribuição previdenciária de seus contribuintes. era de 6% sobre qualquer salário; passou para 11% sobre o que excede R$1.200,00 nos salários. Por exemplo, sobre uma salário de R$1.700,00, a contribuição anterior era: 0,06x R$1.700,00 = R$102,00; e a atual é: 0,11x(R$1.700,00 - R$1.200,00) = R$55,00.
i. Determine as funções que fornecem o valor das contribuições em função do valor x do salário antes e depois da mudança na forma de cobrança.
ii. Esboce seus gráficos.
iii. Determine os valores de salários para os quais:
- a contribuição diminuiu;
- a contribuição permaneceu a mesma;
- a contribuição aumentou.