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Mostre que (Termo Geral)

Mostre que (Termo Geral)

Mensagempor Cleyson007 » Seg Jul 11, 2011 20:50

Boa noite amigos do Ajuda Matemática!

Seja a_{n}=\sum_{k=0}^{n}\,t^{k}, t\neq 0 e t\neq 1. Mostre que o termo geral é a_{n}=\frac{1-t^{n-1}}{1-t}.

Se alguém puder me ajudar, agradeço!

Até mais.
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Re: Mostre que (Termo Geral)

Mensagempor MarceloFantini » Seg Jul 11, 2011 21:23

Falta uma hipótese, a de que |t| < 1, caso contrário esse resultado é inválido. Isso é simplesmente a soma de uma progressão geométrica com primeiro termo 1 e razão t.
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Re: Mostre que (Termo Geral)

Mensagempor Cleyson007 » Seg Jul 11, 2011 21:47

Boa noite Fantini!

Fantini, por favor desenvolva a resolução. Eu não consegui mostar o que se pede em relação ao termo geral.

Agradeço sua ajuda.

Até mais.
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Re: Mostre que (Termo Geral)

Mensagempor MarceloFantini » Seg Jul 11, 2011 22:09

Você tentou por indução?
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Re: Mostre que (Termo Geral)

Mensagempor Cleyson007 » Seg Jul 11, 2011 22:11

Boa noite Fantini!

Fantini, sinceramente não sei nem por onde começar.. Consegue resolver por indução?

Enfim, no que puder me ajudar serei grato.

Até mais.
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Re: Mostre que (Termo Geral)

Mensagempor LuizAquino » Ter Jul 12, 2011 09:59

Como o Fantini lembrou, isso é a soma dos termos de uma p. g. com termo inicial 1, razão t e n+1 termos. Isso resulta em \frac{1 - t^{n+1}}{1 - t} (note que no numerador não aparece t^{n-1} como você escreveu).

A demonstração para essa fórmula pode ser encontrada até em livros do ensino médio.

Ela também é facilmente encontrada na internet. Vide por exemplo:
Progressão geométrica
http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C ... C3%A9trica


MarceloFantini escreveu:Falta uma hipótese, a de que |t| < 1, caso contrário esse resultado é inválido.

Note que essa hipótese não é necessária no exercício. Essa hipótese seria necessária no caso: S = \sum_{k = 0}^{\infty} t^k = \frac{1}{1-t} .
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}