Prezados,
Seja
a densidade de massa no ponto
.
Suponha que a esfera está centrada na origem do sistema.
Queremos que:
(i)
;
(ii)
, com
um ponto sobre a esfera;
(iii)
decai proporcionalmente à distância do centro.
Para simplificar, considere que
d é a distância do ponto
ao centro da esfera. Podemos reescrever (i), (ii) e (iii) como:
(i*)
;
(ii*)
;
(iii*)
, com
k e
m constantes reais.
Disso, obtemos:
.
Mas, isso é o mesmo que:
.
Sendo assim, lembrando-se da simetria da esfera, podemos calcular a sua massa por:
Em coordenadas esféricas, essa integral pode ser reescrita como: