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Integrais Múltiplas

Integrais Múltiplas

Mensagempor EulaCarrara » Dom Jun 26, 2011 21:09

Um objeto tem forma esférica com raio de 10cm. Sua massa é desigualmente distribuída pelo volume, sendo que a densidade é máxima igual a 5g/cm³ no centro e decai proporcionalmente à distância do centro, chegando a zero na superfície. Encontre a massa do objeto.

:?:
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Re: Integrais Múltiplas

Mensagempor MarceloFantini » Dom Jun 26, 2011 21:49

Não tenho muito domínio sobre o assunto, então não posso afirmar com certeza sobre a resposta. Primeiro, sabemos que a massa será dada por:

M = \iiint \delta(x,y,z) \; dV

Como o objeto é esférico, isso me sugere utilizar coordenadas esféricas. Não sabemos a densidade, mas pelos dados do enunciado eu pensaria em algo da seguinte forma:

\delta(r, \theta, \phi) = 5(1-r)

Quando a distância ao centro é zero a densidade é 5 e na superfície a densidade é zero. Note que não depende dos ângulos. Portanto, acredito que fique assim:

\int\limits_0^{\pi} \int\limits_0^{2 \pi} \int\limits_0^{10} 5(1-r) r^2 \, sen \phi \; dr \, d\theta \, d\phi

Agora o problema é basicamente resolver esta integral tripla. Quero lembrar que não tenho certeza do raciocínio, mas eu pensaria assim.
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Re: Integrais Múltiplas

Mensagempor LuizAquino » Seg Jun 27, 2011 11:14

Prezados,

Seja \rho(x,\,y,\,z) a densidade de massa no ponto (x,\,y,\,z) .

Suponha que a esfera está centrada na origem do sistema.

Queremos que:
(i) \rho(0,\,0,\,0) = 5 ;
(ii) \rho(x_1,\,y_1,\,z_1) = 0, com (x_1,\,y_1,\,z_1) um ponto sobre a esfera;
(iii) \rho decai proporcionalmente à distância do centro.

Para simplificar, considere que d é a distância do ponto (x,\,y,\,z) ao centro da esfera. Podemos reescrever (i), (ii) e (iii) como:

(i*) d = 0 \Rightarrow \rho = 5 ;
(ii*) d = 10 \Rightarrow \rho = 0 ;
(iii*) \rho = kd + m , com k e m constantes reais.

Disso, obtemos: \rho = -\frac{1}{2}d + 5 .

Mas, isso é o mesmo que: \rho(x,\,y,\,z) = -\frac{1}{2}\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} + 5 .

Sendo assim, lembrando-se da simetria da esfera, podemos calcular a sua massa por:
m = 8\int_0^{10} \int_0^{10} \int_0^{10} -\frac{1}{2}\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} + 5 \,dx\,dy\,dz

Em coordenadas esféricas, essa integral pode ser reescrita como:
m = 8\int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^{10} \left(-\frac{1}{2}r + 5\right) r^2\,\textrm{sen}\,\phi\,dr\,d\theta\,d\phi
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Re: Integrais Múltiplas

Mensagempor MarceloFantini » Seg Jun 27, 2011 11:23

Bom, esqueci do \frac{1}{2} mas a resposta é a mesma do Luiz Aquino. O número 8 está ali apenas para deixar os limites de integração mais bonitinhos, haha.
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Re: Integrais Múltiplas

Mensagempor LuizAquino » Seg Jun 27, 2011 11:54

MarceloFantini escreveu:Bom, esqueci do \frac{1}{2} mas a resposta é a mesma do Luiz Aquino.

Pois é. Bastava ter escrito algo como \delta(r,\, \theta,\, \phi) = \frac{1}{2}(10 - r) ao invés de \delta(r,\, \theta,\, \phi) = 5(1-r) .

MarceloFantini escreveu:O número 8 está ali apenas para deixar os limites de integração mais bonitinhos, haha.

:)
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Re: Integrais Múltiplas

Mensagempor EulaCarrara » Seg Jun 27, 2011 23:24

Muito Obrigada!! :-D
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}