Intervalos de crescimento e decrescimento da função

por **valeuleo** » Ter Jun 21, 2011 21:50

Não estou conseguindo resolver essa daqui:

$g(x)=\frac{t}{1+{t}^{2}}$

Calculei a derivada e obtive: $\frac{-2{t}^{3}+{t}^{2}+1}{{\left(1+{t}^{2} \right)}^{2}}$ . Daqui em diante não consegui resolver. Podem me ajudar?

Grato

por **MarceloFantini** » Ter Jun 21, 2011 22:07

Tome cuidado, você errou ao derivar a função:

$g(t) = \frac{t}{t^2 +1} \Rightarrow g'(t) = \frac{(t^2 +1) \cdot (t)' - t \cdot (t^2 +1)'}{(t^2 +1)^2} = \frac{t^2 +1 - t(2t)}{(t^2 +1)^2}$

$= \frac{1 - t^2}{(t^2+1)^2}$

Onde esta função for positiva, a função original é crescente, onde ela for zero é um possível máximo ou mínimo, e onde for negativa ela será decrescente. Pense na interpretação geométrica disso: uma derivada representa o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto. Positivo indica reta "para cima", crescendo, e negativo indica "para baixo", decrescendo.

por **valeuleo** » Ter Jun 21, 2011 22:29

MarceloFantini escreveu:Tome cuidado, você errou ao derivar a função:

$g(t) = \frac{t}{t^2 +1} \Rightarrow g'(t) = \frac{(t^2 +1) \cdot (t)' - t \cdot (t^2 +1)'}{(t^2 +1)^2} = \frac{t^2 +1 - t(2t)}{(t^2 +1)^2}$

$= \frac{1 - t^2}{(t^2+1)^2}$

Onde esta função for positiva, a função original é crescente, onde ela for zero é um possível máximo ou mínimo, e onde for negativa ela será decrescente. Pense na interpretação geométrica disso: uma derivada representa o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto. Positivo indica reta "para cima", crescendo, e negativo indica "para baixo", decrescendo.

Valeu. Realmente não tinha notado no errinho na derivação. Grato

por **LuizAquino** » Ter Jun 21, 2011 22:44

Se você não souber como continuar o exercício, eu recomendo que assista a vídeo-aula "20. Cálculo I - Crescimento, Decrescimento e Concavidade do Gráfico de Funções".