Taxa de Variação

por **AlbertoAM** » Sáb Mai 28, 2011 15:53

Duas estradas retas se encotram em um entroncamento T, formando um ângulo de 60°.Uma das estradas passa pela cidade P, que dista 100km de T e a outra passa pela cidade Q, que dista 120km de T, conforme ilustra a figura seguinte.Sabendo que no instante t=0 o carro A passa por P a 72km/h em direção a T, o carro B passa por Q a 96km/h também em direção a T, pede-se determinar, após exatamente 50 minutos:
A variação da distância entre os carros A e B.

Pessoa, poderiam verificar se a minha resolução está correta:
a)Eu chamei de "a" a distancia que o carro A percorre de P até T, o "b" é a distancia que o carro B percorre de Q até T e o "c" é a variação da distancia entre os carros A e B

b) Dado(hipótese): $\frac{da}{dt}=-72km/h \;\;e\;\; \frac{db}{dt}=-96km/h$

Pede-se(tese): ${\left(\frac{dc}{dt} \right)}_{t=\frac{5}{6}h}$

c)
$c^2=a^2+b^2-2abcos60\rightarrow c^2=a^2+b^2-ab\rightarrow 2c*dc=2a*da+2b*db-\left(b*da+a*db \right)\div dt\rightarrow 2c*\frac{dc}{dt}=2a*\frac{da}{da}+2b*\frac{db}{dt}-b*\frac{da}{dt}-a*\frac{db}{dt}\rightarrow \frac{dc}{dt}=\frac{a}{c}*\frac{da}{dt}+\frac{b}{c}*\frac{db}{dt}-\frac{b}{2a}*\frac{da}{dt}-\frac{a}{2c}*\frac{db}{dt}$

d)
$a=100-\frac{5}{6}*72=40\\ b=120-\frac{5}{6}*96=40\\ c=40$

${\left(\frac{dc}{dt} \right)}_{t=\frac{5}{6}h}=\frac{40}{40}*(-72)+\frac{40}{40}*(-96)-\frac{40}{80}*(-72)-\frac{40}{80}*(-96)=-72-96+36+48=-84km/h$

por **AlbertoAM** » Dom Mai 29, 2011 13:25

Alguém?

por **LuizAquino** » Dom Mai 29, 2011 21:42

Esse exercício é análogo ao que foi respondido no tópico:
Taxa de variação
viewtopic.php?f=120&t=4843

A diferença principal entre os exercícios é que nesse você vai utilizar a lei dos cossenos para determinar a distância entre A e B.

por **AlbertoAM** » Dom Mai 29, 2011 22:02

Mas no caso, não teríamos uma função decrescente, pois quanto maior o tempo menor será a distância dos carros A e B em relação à T.

por **LuizAquino** » Dom Mai 29, 2011 22:20

É tudo uma questão de referencial.

Por exemplo, se o observador está parado na cidade P, então o carro A está se afastando e sua distância em relação a ela é crescente com o tempo.

Por outro lado, se o observador está parado no entroncamento T, então o carro A está se aproximando e sua distância em relação a ele é decrescente com o tempo.

por **AlbertoAM** » Dom Mai 29, 2011 23:15

Então Luiz, eu fiz esse exercício com base em um exercício resolvido do livro-texto que usamos na faculdade.Aqui está ele:
Uma barra de 5m de comprimento tem as suas extremidades R e S deslizando sobre os suportes de um ângulo reto de origem O. Se a extremidade R da barra aproxima-se da origem à razão constante de 3cm/min, determinar, no instante em que esta extremidade estiver a 4m da origem O:
A razão segundo a qual a outra extremidade (S) está se afastando da origem O.

Dado(hipótese): $\frac{dr}{dt}=-0,03m/min$ (como R se aproxima de O e r=d(R,O) então r é decrescente, pois, neste caso, quando maior o tempo menor será a distância), pede-se

$\left({\frac{ds}{dt}}\right)_{r=4}$

A idéia não seria a mesma para o sinal da hipótese?

por **LuizAquino** » Seg Mai 30, 2011 11:22

Esse último exercício que você postou é bem diferente.

A extremidade R se aproxima de O, enquanto que a extremidade S se afasta.

Já no primeiro exercício, ambos os carros estão se aproximando de T.

por **AlbertoAM** » Seg Mai 30, 2011 14:07

Entendi.Muito obrigado pela ajuda.

por **AlbertoAM** » Ter Mai 31, 2011 18:30

Colocando a variação das velocidades positivas, eu chego em 84km/h.Mas no gabarito está -84km/h, o que estou fazendo de errado?

por **LuizAquino** » Ter Mai 31, 2011 20:25

De fato, é uma questão de referencial.

Imagine que o observador está parado no entroncamento T.

A distância do carro A em relação a T após t horas é: A(t) = 100 - 72t. Lembrando que A é dado em km e t é dado em horas, temos que A'(t) = -72 km/h.

De modo semelhante, como B(t) = 120 - 96t, temos que B'(t) = -96 km/h.

Utilizando essas informações você deve encontrar que C'(5/6) = -84 km/h.

por **AlbertoAM** » Ter Mai 31, 2011 21:32

Mas Luiz, isso que você falou não é a mesma coisa que eu tinha feito na minha resolução(que contém alguns erros de digitação), dê uma olhada por favor.